CHAPITRE XVII. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
On en déduit la résolvante générale de l'équation (i3) en remplaçant — i6y/a* par y/K^ ce qui donne
(i8) y^ — 2oa^*-H a4oa*j^* — 32j y^Â -+- 32oa* = o.
Le discriminant A est égal à
ainsi qu'il résulte de l'équation (3) du § 80. L'équation en u est encore plus simple; c'est
posant enfin lû = p, on trouve pour v l'équation rationnelle du sixième degré
('il) (v'^ — 5ap*-f- 1 5a* t» H- 5a')» — Ap = o.
On déduit de l'équation (17) une autre forme de l'équation en
r; on change yJoL en — y/a, et l'on multiplie membre à membre,
ce qui donne
{v— 7.y*{v^ — 6ar-+- 25a») = o;
c'est à cetle forme que doit se réduire (21) dans le cas de P = o. D'autre part, l'équation (19) détermine dans (21) la partie qui dépend de ^; on trouve donc pour la résolvante
(22) (t;— a)*(p*— 6ap-4-25a») = 5»?n'.
On peut se demander si la fonction v ainsi introduite est réellement métacyclique, si elle n'admet pas d'autres permutations pour des équations particulières. Pour que ce cas pût se présenter, il faudrait que les équations (21) ou (22) eussent des racines égales, ou que l'équation (20) admît des racines opposées.
On ne trouve u = o ou v =1 o que lorsque a est nul. L'équation (i3) devient alors l'équation métacvclique bien connue x"* 4- P = o ; nous laisserons donc ce cas de côté. L'équation (20) ne peut avoir deux racines opposées que dans l'hypothèse A = o; par conséquent, lorsque l'équation (1 3) a des racines égales; ce cas ne peut se présenter, puisque nous avons supposé (i3) irréductible.
11 resle donc à se demander si Téquation (20) peut avoir des racines égales. Ces racines devraient satisfaire à l'équation dérivée
6 a* — 20 a M» -h 3oa* a — y^Â = o ;
en éliminant y^Â entre cette éqtiation el (20), elles devraient aussi satisfaire à
On aurait donc ç^ = a, donc ^ == o, [d'après (22). Mais alors l'équation du cinquième degré admettrait le facteur x et ne serait pas irréductible.
Si donc on veut savoir si une équation donnée de la forme (i3) est résoluble, il faut d'abord examiner si elle est irréductible, puis chercher si Tune des équations (21) ou (22) admet une racine rationnelle. Si a et p sont des nombres entiers, toute valeur rationnelle de v est aussi un nombre entier qui devra être diviseur de 25a'.
Soit, par exemple, a= 5, p = 5^; si t est un entier non divisible par 5, ^5 -h aa:-+- ^ est irréductible (§ 186, 3). On devra remplacer v par des puissances de 5, affectées du signe -|- ou — . Mais pour aucune de ces valeurs, l'équation (2a) ne pourra être vérifiée, l'exposant de 5 dans le premier membre n'étant jaaiais aussi élevé que dans le second. Donc :
Aucune équation de la forme ^2-|-5:c-h5^ = o n^est mêla' cyclique.
Pour trouver des équations métacycliques, posons dans (22)
on en déduit
(X — i)*(X* — 6XH-25)'
remplaçons X et a par des quantités rationnelles (choisies dans un domaine de rationalité quelconque, par exemple celui des fonctions rationnelles de X et a) ; l'équation du cinquième degré
(24) a:* -h aa7-+- p = o
