CHAPITRE XVil. — RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS. 'JVJ

sera résoluble algébriquement; en effet, dans le cas où cette équation devient réductible, on est aussi ramené à des équations qu'on sait résoudre.

Réciproquement, on peut affirmer que, si dans Téquation (24) les coefficients a et ^ n'ont pas la forme (28), Péquation ne peut être résolue algébriquement.

Soit, par exemple, X=3, pL=i; on trouve 2*a = 3.5', 38^ =: 3,55. l'équation (24) se simplifie en prenant une nouvelle inconnue Ç, définie par l'équation

On trouve ainsi

irréductible (§ 186, 3), mais pouvant être résolue algébriquement.

§ 190. — Le groupe de la résolvante.

Les théorèmes, démontrés dans le paragraphe précédent, conduisent à une conséquence remarquable pour les équations du sixième degré.

Considérons de nouveau x^^ ^i , ^2, ^s ? ^4 comme des variables indépendantes. Les six quantités

sont racines d'une équation du sixième degré, F((^) = o, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des fonctions symétriques fondamentales a, 6, c, rf, e des variables x ; elle est irréductible dans le corps des fonctions rationnelles de ces grandeurs. Cette équation est une résolvante de l'équation du cinquième degré, admettant pour racines les variables x.

Soit M le groupe linéaire complet des variables x\ les groupes Tf^M-n conjugués de M n'ont d'autre diviseur commun que la permutation identique. En effet, tout diviseur commun à ces groupes devrait être un diviseur normal du groupe symétrique et par suite du groupe alternant; comme ce ne peut être le groupe alternant lui-même, il se réduit donc au groupe unité (§ 185),

7a8 LIVRE m. — lks grandeurs algébriques.

La résolvante F((^) == o est donc, d'après la définition donnée au § 163, la résolvante totale de/(a:) = o; son groupe doit être de même que celui de l'équation, c'est-à-dire du degré 1.2.3.4.5= lao. La fonction F((^) étant aussi irréductible, le groupe des permutations des indices des six quantités v est transitif. Il est du degré 120, tandis que le degré du groupe symétrique des six indices est égal à 6. 120. Donc :

Le groupe symétrique des permutations de six indices admet un diviseur transitifs d'indice 6.

Pour trouver ce groupe remarquable, que nous appellerons C, il suffit de se rendre compte de l'effet produit par les 120 permutations des variables :r sur les quantités v ou les quantités (11) du paragraphe précédent.

Nous avons vu précédemment (§ 160, 2) que les transpositions (0,1), (0,2), (o,3), (0,4) engendrent, par compositions successives, tout le groupe symétrique des permutations de cinq indices. Il suffit donc de chercher Teffet produit par ces quatre transpositions sur les quantités v,

La transposition (o, i) transforme chacune des expressions (11) (§ 189) en une des expressions (12), et réciproquement. En employant successivement les quatre transpositions considérées^ on trouve les quatre permutations suivantes tti, 112) ''^S) t^mj qui engendrent le groupe C :

(0,1) ir, = (i,3)(2,5)(4,6),

(0,2) 'itj = (i,4)(2,3)(5,6),

Les indices des transpositions, dont se composent les permutalions Tc, sont ceux des quantités u et v.

Parmi les 120 permutations du groupe C se trouvent entre

autres

TZir.i = (i,2,6)(3,4,5),

7Ui7rj7C3 = (1,6,5, 4),

IClTC, 11,714 =(2,4,6, 3, 5),

(irjTtjiTjir*)» = (2, 3, 4, 5, 6).