CHAPITRE II. — DÉTERMINAIfTS

en désignant par a4, «2? •••> ^/i 1^ succession des nombres 1,2, . • . , /i dans un ordre quelconque, on peut la représenter par

On peut de bien des manières eflectuer une permutation; le procédé le plus intéressant pour nous est celui des transpositions, c^est-à-dire de l'échange de deux éléments. A Taide de plusieurs transpositions successives, on peut déduire une permutation quelconque A' d'une permutation donnée A. On peut procéder à cet effet de la manière suivante : on permute le premier élément de A avec rélément ai de A qui occupe dans A' la première place (excepté si ai = i); on permute ensuite le second élément de A avec l'élément a^ qui, dans A', occupe le second rang (excepté si aa= a), etc.

Pour déduire, par exemple, la permutation (4, 3, i^ \) de la permutation (i, 2,3, 4)) on passe par les permutations

Si, pour abréger, on désigne une transposition de i et 2 par le symbole (i, 2), on vient de faire les deux transpositions

Il est à remarquer que le passage d'une permutation à une autre peut être réalisé d'une infinité de manières différentes par des transpositions successives. C'est ainsi que de la permutation (1,2,3,4)) on passe à la permutation (4)3, i, i), à Taide des transpositions (i, 2), (i, 3), (2, 4), (i, 2). Souvent on commence par faire les permutations d'une manière quelconque; ensuite seulement, on les dispose dans l'ordre indiqué.

§ 22. — Permutations de première et de seconde classe.

Les n(n) permutations de n éléments se distinguent en deux classes au point de vue suivant.

Avec les n éléments du système, on peut former ^^^"~'^ couples. Faisons correspondre aux n éléments 1,2, . . ., n, sui-

84 LIVHE I. — LES PRIlfCIPBS.

yanl une loi déterminée, n valeurs numériques réelles ^i , as, .. -,a/,; formons les différences deux à deux de ces nombres, le premier nombre ayant l'indice le moins élevé, on trouve ainsi ai — a^, ai — as, . . . , aj — as, .... Le produit de ces différences

P = (aj — at)('ai— aj). ..(ai —a») .X . («ï— as). . .(at —an)

\ (an-i—an)

aura une valeur différente de zéro^ à condition que tous les nombres a soient distincts; cette valeur sera positive, si Ton suppose, par exemple, «i > a2l>as>*- . •!> a«.

Permutons maintenant les indices 1,2, '. ...,/i d'une façon quelconque, c'est-à-dire passons de la permutation A à la permutation A'; le produit P devient alors

P'= (aa^—aa^) (aa,— aa,"). . .(a», — ^a»)

Ce nouveau produit est formé, au signe près, des mêmes facteurs que P; donc P'est égal à P, ou égal à Pet de signe contraire.

I. A^ous dirons que la disposition A' et, par suite, aussi la permutation qui change A en A', est de première ou de deuxième classe^ selon que P et P' sont de même signe ou de signes contraires; A lui-même appartient donc à la première clause,

II. Une transposition quelconque {lij A"), en désignant par h et k deux quelconques des nombres 1, 2, ...,/i, change le signe de P aussi bien que celui de P'.

£n effet, les facteurs qui ne contiennent pas h et k demeurent invariables, le facteur ±{a/i — a/() change de signe; les produits tels que ±(aA — a^) {a/c — av), (vêtant un des nombres i, 2, ..., /i), ne changent pas de signe.

Il en résulte que :