RACINES DES ÉQUATIONS MÉTACYCLIQUES

§ 191. — Position du problème. — Théorème auxiliaire.

Nous avons établi, dans le Chapitre précédent, les conditions générales permettant de reconnaître si une équation donnée, de degré premier, est ou n'est pas métacyclique. Mais le sujet est loin d'être entièrement épuisé par là. Il s'agit maintenant d'indiquer un procédé permettant de trouver toutes les équations niétacycliques, en donnant au problème une forme primitivement indiquée par Abel. Ce géomètre n'a laissé sur ce sujet que de courtes indications sans démonstrations; M. Kronecker a repris le problème sous la même forme, et l'a entièrement résolu en ce sens, qu'il a déterminé^ pour commencer, non pas les équations ellesmêmes, mais bien leurs racines (*). C'est ainsi que M. Kronecker a indiqué, pour chaque nombre premier /i, une expression déduite d'un corps donné Û par des extractions de racines successives, possédant la double propriété suivante : toute racine d'une équation métacyclique de degré /?, irréductible en Û, est contenue dans cette expression, et, réciproquement, toute expression de cette

(') Abel, Sur la résolution algébrique des équations (Œuvres complètes, édition Sylow, t. II, p. 217"). — Lettre à Crelle, i4 mars 1826 {Œuvres, t. II, p. 266).

Kronecker, Sur les équations résolubles algébriquement {Monatsberichle de r Académie de Berlin, i853, i856).

Cayley, Sur un théorème d*Abel, etc, {Math, papers; t. XI, p. i32.

H. Weber, Sur les équations de degré premier résolubles algébriquement {Comptes rendus de V Association pour ^avancement des Sciences naturelles; Marburg, 1892). — L'exposition du texte est la même, simplifiée et corrigée sur un point.