CHAPITRE XYIII. — RACINES DES ÉQUATIONS HÉTAGTCLIQUES

forme est racine d'une équation mélacjclique de degré /z, irréductible en Q.

Les résolvantes de Lagrange sont la base de ces recherches.

Soient n un nombre premier, Xo, x«, ..., :r„j des variables indépendantes; convenons que l'on a

soit enfin e une racine /i**"* de l'unité. Nous posons

h (1) (s, j?) = a?o-+-eJ7i-+- Ê'J^i-+-. . .4- s^-^a^rt-i = 7, t^x/i,

Ces expressions sont précisément les résolvantes de Lagrange» que nous avons déjà rencontrées au Chapitre XIV; nous avons examiné à ce moment la façon dont elles se comportent vis-à-vis Aes permutations cycliques (§ 171).

Cherchons maintenant quel effet produisent sur ces fonctions les permutations linéaires du § 188, et démontrons d'abord un théorème auxiliaire, contenu en réalité dans des résultats précédemment établis.

Les racines n*®"" imaginaires de l'unité sont les racines de l'équation

On a vu (§ 174) que la fonction X est irréductible dans le corps des nombres rationnels R.

Prenons un corps quelconque Û, dans lequel X soit irréductible; déduisons-en le corps Û(e), formé de toutes les fonctions rationnelles ayant pour coefficients des éléments de Û^ il résulte du § 149 que tout élément de ce corps peut être mis d'une seule manière sous la forme

(3) co-h Cie-hCjE* -f-...-h c„je'»-«,

les coefficients c étant des éléments de û.

Pour abréger, nous dirons que la forme (3) est la forme normale des éléments du corps û(e); nous pourrons donc énoncer le théorème suivant :