Soit û un corps, dans lequel Inéquation de diçision\ = o

73a LIVRE III. — LBS GRANDEURS ALGÉBRIQUES.

est irréductible; tout élément du corps û(e) peut être ramené d^ une seule manière à la forme normale

les coefficients c étant des éléments de û.

Nous pouvons prendre, comme corps û, celui qui résulte de R par Tadjonction de /i variables indépendantes a:©, ar«, ..., Xn-\- En effel, si X était réductible dans ce nouveau corps, on aurait

Xi et X2 étant des fonctions entières des racines e et des fonctions rationnelles des variables x\ on pourrait substituer aux variables OToj ^^^ •• -j ^/î i des nombres rationnels tels que les fonctions X, et X2, sans changer de degré par rapport à s, deviennent des fonctions de R (§ 43); il y aurait donc contradiction, puisque X est irréductible dans le corps R.

Ce corps û admet différents diviseurs ; X est irréductible dans chacun d'eux; l'un quelconque peut donc jouer le rôle de û dans le théorème \ . On obtient un de ces diviseurs en prenant un groupe de permutations P des n indices o, i, 2, . . . , /i — i , et en considérant l'ensemble de toutes les fonctions des n variables jco' Xsy ...,^rt 4, appartenant à R, et permettant'les permutations du groupe P.

L'ensemble de ces fonctions constitue évidemment un corps ^ à chacun des groupes de permutations des n indices correspond donc un corps déterminé Û. On peut représenter les fonctions de ce corps à l'aide des (onctions symétriques des variables x et d'une fonction appartenant au groupe P.

Le corps Q ainsi déterminé appartient au groupe P. Il peut jouer le rôle de û dans le théorème 1 (voir § 159).

On peut donc énoncer ce second théorème :

2. Lorsqu'une fonction rationnelle ^(^o? ^1 ? • • •? ^«-< y ^) du corps Q(e) ne change pas, quand on effectue sur les indices (les variables les permutations dUin groupe P, les coefficients Coy ^1, C2, ..., c„^ de la forme normale de ^ permettent ces mêmes permutations.