CHAPITRE IVIII. — RACINES DES ÉQUATIOKS MfiTACY CLIQUES
Soit ^(e) un élément quelconque du corps û(e); on obtient 1rs fonctions conjuguées en remplaçant la racine e par une autre racine quelconque de X = o; on fait donc la substitution (e, e*) pour A = i,2, ...,/i — I. Tous les corps ainsi formés sont contenus dans û(£); ils sont donc identiques; par suite, û(e) est un corps normal sur Ù (§ 149, 152). Lorsqu'une fonction ^(e) demeure invariable, quand on remplace e par les différentes racines e^, elle est elle-même contenue dans û, ainsi que cela résultait déjà des propositions du § loi. On le voit d'ailleurs directement; riijpothèse <^(€*) = ^(s) donne
C| -h Cj ~- . . . H- Cn—x
on en conclut, d'après le théorème 1, que C|, Co, - . ., c„2 sont nuls. Donc :
3. Lorsqu'une fonction de û(€) permet toutes les substitutions (e, e^), elle est contenue dans Û.
§ 192. — Théorèmes sur les résolTantes.
Considérons maintenant les résolvantes de Lagrange (e, x)\ £ est une racine n'*""® imaginaire de Tunilé, les variables j: soni indépendantes; appliquons à ces fonctions les théorèmes précédents.
Cherchons d*abord l'effet produit par les permutations linéaires ; il suffira d'envisager les deux substitutions génératrices
(i) 5=(A, /i-M), t = {h,ffh);
l'indice h, pris par rapport au module n, devient égal aux différents indices des variables x; g est une racine primitive du nombre n (§ 188).
Faisons dans la fonction
la siibslilution 5; elle devient
La substitution s a donc pour effet de multiplier (e, x) par e~*. Ecrivons ensuite (e, x) sous la forme
(t,x) = xo-h V E'*ar/,;
faisons la substitution t en remplaçant x^ par ^^>^; cette fonction
devient
(3) aro-+- 2 E^ar^A.
Dans cette somme, les valeurs de h sont celles d^un système complet de restes par rapport au module n, zéro exclu; on peut donc remplacer h par hg~* ; la somme (3) devient alors
-+- V zsr'hxh — {t8^\ x).
Employons plusieurs fois les permutations s ei t] Teffet de s^ et de i^ consiste à changer
(e, ar) en E-^(e,a?)
et
(s, a?) en (e*""^, a?);
en particulier, pour X = — i, {t. x) se change en £(£, j:) ou (£^j^); on peut donc énoncer le théorème suivant :
4. Les substitutions génératrices s et t du groupe linéaire produisent les changements suivants :
s change (e, x) en £"*(£, x); a'~* change (e, x) en €(5, x):
t change (s, x) en (e^~', :r); /"* change (e, a:) e/i (e^, x).
D'autre part, s est la permutation génératrice du groupe cyclique; les propositions 2 et 4 fournissent alors ce corollaire :
