CHAPITRE XVIII. — RACINES DES ÉQUATIONS MÉTACYCLIQCES. ']Z
étant réduites à leur forme normale\^ 191, (3)], leurs coefficients sont des fondions cycliques de Xq, ^i , . . . , x„i (§ 170).
A est un entier quelconque, non divisible par/i. Prenons X = ^, et remplaçons e par les n — i racines de X= o; la fonction F (s) donne naissance à /i — i fonctions distinctes, qui restent invariables quand on fait la substitution s; nous les désignerons par
en posant
on a donc
Transformons les fonctions (5) par la substitution /"* ; le théorème 4 montre que les fonctions /"oiyn •• •> fn-t subissent la permutation cyclique (o, i , 2, . . . , n — 2).
De plus, tant que les quantités x sont des variables arbitraires, on voit, diaprés (5), que les fonctions fy sont toutes distinctes, puisqu'elles sont décomposées en facteurs linéaires différents.
Si donc on forme une fonction cyclique de ces n — 1 quantités
cette nouvelle fonction ne change pas quand on y fait les substitutions 5 et ^~*, par suite t et toutes celles du groupe linéaire ; d'où le théorème suivant :
6. Une fonction cyclique des quantités f^, f, ..., y„2 étant mise sous la forme normale, ses coefficients so(it des fonctions métacycliques des variables Xq, ^i , . . . , x„^i .
Une fonction métacyclique est, en effet, une fonction qui ne change pas, quand on y fait les permutations du groupe linéaire.
Les fonctions y*o>/i> • • •> fn-2 se permutent aussi cycliquement quand on laisse invariables les quantités x et qu^on fait la substitution (e, e^). Si donc la fonction cyclique C des quantités/ ne contient pas e dans ses coefiicienls, elle reste invariable, quelle
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