CHAPITRE XVIfl. — RACINES DES ÉQUATIONS MÊTACYGLIQUES
placé par nk. On en conclut
On peut généraliser ces formules en observant que les fonctions /«i fht • • • j /«-a se permutent cycliquement quand on fait la substitution (e, £^). Si donc on convient qu'an écrira /a =^;t, pourvu que h ^ A" (mod n — i), et si l'on pose
(i3) F(eir^) = Fv=(fi^,ar)'»*,
la formule (12), transformée par la substitution (e, e^*), devient
Cette équation sera exacte pour toute valeur de v, si l'on convient que Fa est égal à F^) sous la condition
h^k (mod 71 — i).
Il résulte alors du théorème 4 que la substitution s ne change pas les fonctions F©, F|, . .., F;,27 et que la substitution i"* les permute cycliquement.
Pour ramener les exposants à leurs restes minima par rapport au module /i, on posera
(i5) ^y=z nq.,-hr, o<rv</i, To = 1 ;
les nombres r^ sont, dans un certain ordre, les nombres 1,2,..., n — I ; 7*0 est toujours égal à i .
L'équation (5) montre alors que
posons encore
(«7) *v= Fv/7--/?rr'-.-/v''i«-3;
l'équation (i4) donne alors
08) (£s T)n = *;/;-/;-T«. . ./;in-r
Les exposants ry ne changent pas, quand on remplace g par g — In; ils sont indépendants de la condition (10); on peut donc les chercher à l'aide d'une racine primitive g quelconque. W. 4^
738 LIVRE m. -- LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
En résumé, les propriétés caractéristiques des fonctions y*vi Fv* <E»v) figurant dans ces équations, sont les suivantes; coy désigne Tensemble de ces fonctions :
(a). La permutation cyclique s = ( h, h -[- i)^ effectuée sur les indices des variables a:, ne change pas V ensemble des fonctions iOy.
(P). La permutation linéaire t~* = (A, g~^ A), faite sur les indices des variables x, produit sur les indices des fonctions co la permutation cyclique (o, i , 2, . . . , n — 2).
(y). La substitution o- = (s, s^) produit la même permutation cyclique (o, 1,2, ...,/i — 2) des indices des fonctions w.
(8). Les fonctions cycliques des quantités i^^sont des fonctions métacycliques des variables x et sont indépendantes de s.
D'après le théorème de Lagrange (§ 162), toute fonction 6v, possédant les quatre propriétés (a), (P), (y), (5), peut être exprimée rationnellement, dans le corps û des fonctions métacjcliques de x^ en fonction d'une quelconque d'entre elles <*>v, à condition que les quantités (Oq? ^19 • - •> ^n-^ soient distinctes; on peut donc supposer que ces fonctions (Oy soient les fonctions y*v-
Si en effet u représente une variable, et si Ton pose
(19) («/ — wo)(w— a>i)...(M — (o„,) = (p(z/),
la fonction 7(2^) admet les permutations 5 et ^ et aussi la substitution (T = (e, e^) \ c'est donc (§ 191^ 3) une fonction entière de u ; ses coefficients sont des fonctions métacycliques des variables x^ <)t sont indépendants de s.
Désignons par 8q, Qi, - . . , 0„2 un système de fonctions possédant les quatre propriétés (a), (P), (y), (3); la somme
<?st une fonction entière en w, du degré n — 2, qui permet égale ment les substitutions s^t^ rs\ ses coefficients sont donc des éléments de û. Posons
