CHAPITRE XYIII. — RACINES DBS ÉQUATIONS MÉTACTCLIQUES
faisons u = (Oy dans Fëqualion (20); il vient
ev = e(a)v),
S désignant une fonction rationnelle, dont les coefficients sont niétacycliques parrapport aux variables^ et ne contiennent plus e.
§ 193. — Racines d'une éqnation métacyclique.
Nous allons maintenant remplacer dans les équations du paragraphe précédent les variables Xq, x^, ..., Xn^i par les racines 5o» 5iî •••j \n-\ d'une équation métacyclique de degré /i, irréductible dans un corps quelconque K. Nous ferons cette substitution dans un ordre tel, que les fonctions niétacycliques des variables Ç soient rationnelles dans le corps K, ce qui est toujours possible, d'après les théorèmes du Chapitre précédent.
Faisons d'abord deux hypothèses restrictives, dont nous nous aiTranchirons par la suite.
1° La substitution des variables \ n'annule aucune des résolvantes (e, x)^ e étant une racine n**"® imaginaire de l'unité.
D'après les équations (i3),(i6), (17) du § 192, les fonctions y^j Fv, <E^v prennent alors des valeurs déterminées, non nulles.
2° La même substitution ne peut rendre égales deux des fonctions/q,/<, • ..,/rt-2«
Nous supposons que la substitution des variables \ aux variables x transforme y© > /l> "'y/n-2 en kQy A'j, ...,A-,2 2, CCS quantités étant toutes distinctes, et ^o? ^o v ) ^/i-a ^^ ^Of Kf, ..., Kn 2, certaines dé ces quantités pouvant devenir égales.
Les fonctionsy*v possédant la propriété 0, les quantités Ato? ^i v» Ar«2 soiït racines d'une équation cyclique ^ ( w) = o, de degré n — i (par conséquent pair); u étant une variable, la fonction
(1) »J;(m) = (m — X'o) (w — Al). . .(a — k'n-i)
est une fonction de m, de degré n — 1, à coefficients rationnels. Les quantités A'o, A'i, ..., /t/i.s s'expriment rationnellement les unes en fonction des autres par des équations de la forme (§ 170)
(-2) At = Q(koh Ai=0(A:,), ..., A-«-j=e(A:«-,), A» = 6(A:„,).
74o LIVRE III. — LES GRANDEURS ALGÉBRIQUES.
Diaprés le théorème final du § 19S, les quantités Ky s^exprimenl d^une façon analogue en fonction des quantités Atv) sous la forme
(3) Ko = *(X:o), K, = *(A:,), ..., K„j = *(/:«,).
4> étant une fonction rationnelle dans le corps K.
La formule (18) du § 192 conduit alors au résultat suivant. Posons, pour abréger,
il vient
( 5 ) ( Ê'-v , 0 = Kv <— T^-i' . . . t;v«, ;
en ajoutant membre à membre les équations obtenues, et désignant par  la fonction rationnelle (1,0:), on trouve
(6) ,i{^, = A -f. 2 Kv<"-<î-i' • • <%-f
D'après les formules (16) et (17) du § 192, les quantités Ky et A\ isont toutes différentes de zéro.
L'expression (6) fournit une des racines ^.
En posant, pour abréger,
R' — it-'"»— J /•'*•»- « iKo
et en écrivant Téquation (6) sous la forme
(7) ;i5, = A + Ko 7R^+ K, 1/5;-+-. . . -h K„, Î/rH;,
^0 6st exprimé en fonction de n — i radicaux d^indice /i, dont chacun peut prendre n valeurs distinctes. Ces valeurs ne peuvent d'ailleurs être indépendantes, sans quoi l'équation (7) fournirait un trop grand nombre de valeurs de Ç. En effet, si l'on pose [§192, (16)]
l'équation (5) donne
(8) KvyR;=Kf,X:v-i(yïï;-,)^;
on pourra ainsi exprimer rationnellement tous les radicaux en
