CHAPITRE XTIII. — RACINES DBS ÉQUATIONS MÉTACTCLIQUSS. J^l
fonction de Tun d'eux et des quantités A\. La formule (6) offre, par rapport à Féquation (7), le très grand avantage que, de quelque
manière qu'on choisisse les n — i radicaux Ç/âtv, elle ne fournie que n valeurs différentes, les n racines Ç.
Pour le démontrer, désignons par e©, e<, ..., e;,2 les racines ^^icmes jç l'unité dans un ordre quelconque; remplaçons dans l'équation (5) les quantités
V^Xto, V^, •••, V^n-i,
par
La formule (6) devient alors
(9) n^ = A -h 2 EvKv<--x;:n'. . . <v„i;
Ev est une racine /i'*"* de l'unité, qui a pour valeur
(10) Ev = e;-u;-r,'...< Par définition [§ 192, (i5)], on a
(11) Tv^^Tv-i (mod/i);
l'indice r devant être pris par rapport au module n — 1, la formule (10) donne
*^Ah-i — e-v— i S • • • ^v+n— 8»
VK — -r,^, r„, /■, .
d'où
(12) Ev = EÎ-1 = Efv .
En choisissant arbitrairement les racines e, on aura
(i3) Eo = eS— eî— ...s;».,;
les autres quantités Ey sont alors complètement déterminées par Téquation (12). L'équation (6) fournit donc seulement n valeurs, qu'on peut obtenir en attribuant à l'un des radicaux ses n valeurs différentes. (Comparer ce résultat à la méthode de Cayley, pour la résolution de l'équation du troisième degré, § 39.)
Pour former les quantités Ço? So •••> 5/i-i dans l'ordre qui est nécessaire pour la formation du groupe cyclique et métacyclique, il faut multiplier les deux membres de (5) par e"^*"», avant défaire la somme; on trouve ainsi (§ 171)
( 1 4 ) n U = A + 2 e-'^-v Kv tJ— zl^'ff . . . tÇv«-i ;
en choisissant les radicaux d'une manière différente, on ne produit qu'une permutation cjclique des racines |>^.
§ 194. — Disparition des hypothèses restrictives.
Ces recherches sur les équations résolubles algébriquement manqueraient de généralité s*il fallait conserver les deux hypothèses restrictives du paragraphe précédent.
Nous allons montrer qu'elles ne sont pas nécessaires. Soientr^o, 7i,, ..., y\„i les racines d'une équation irréductible, métacyclique, de degré n, absolument quelconque. Définissons de nouvelles inconnues ^0? if 1 •• •} i/i-i pai* le système d'équations
^(y) ^^^ "'^^ fonction entière de degré n — i,
(a) ^{y) = «0 -H «ir -+-• • •-^- ««-! J"»-* ;
ses coefficients, indéterminés pour l'instant, appartiennent au corps K. Nous supposerons que les n quantités ^ sont distinctes; elles sont alors racines d'une équation métacyclique irréductible, de degré /i; l'équation (i) définit une transformation de Tschirnhausen (§58); Ço est un élément primitif du corps K(7|0)', par suite, les corps K(io) ^t K(7io) sont identiques, et de même les corps conjugués K($r) et K(7i^), En posant
les coefficients b étant des éléments de K, on aura aussi
(4) 'io = x(5o)» 'ni = x(5i)> •••» 'nn-i = x(U-i)'
CHAPITRB XVIII. — RACINES DES ÉQUATIONS MÉTAGTCLIQUES. 743
Il est maintenant facile de montrer qu^on peut disposer des coefficients «o> ^«> • • • i <^n^\ des formules (i), de manière que les quantités Ç vérifient les hypothèses 1 et 2 du paragraphe précédent.
Considérons les coefficients a comme des variables indépendantes; les quantités \^ déterminées par les équations (i)^ seront aussi variables, et dépendront des premières par une substitution linéaire à déterminant différent de zéro. Ce déterminant est
cVst le produit des différences deux à deux des quantités r\ ; il est par hypothèse diflerent de zéro.
Si l'on transforme lés variables x parla substitution ar>i = i(7|>^), les fonctions (e, x) et les différences /« — f^ se transforment en fonctions des variables a, qui ne peuvent être identiquement nulles ; car (§ 192) ce sont des fonctions non identiquement nulles des variables Xo, ^i, . . ., ^«». Ces fonctions (s, x) et fa, — f^ deviennent alors (e, Ç) et /:« — ^?; ^^ vertu du théorème 1 du § 143, on peut toujours trouver pour ûTo, «i, ..., cin-{ des valeurs rationnelles telles que ces fonctions ne soient point nulles; il en résulte bien, comme nous voulions le démontrer, que les quantités \h sont distinctes.
Cela posé, considérons le système des variables indépendantes jToj ^11 •••» ^/i-M et un autre système de variables y dépendant des précédentes, et définies par les équations
y^ est la fonction (3); nous poserons de plus
(6) ev =
Les indices des variables x étant permutés d'ime manière quelconque, ceux des variables y subissent la même permutation. Si donc nous effectuons dans la fonction (6) la permutation cycliques, Ov ne change pas (§ 192, 4).
Mettons alors 8v sous la forme normale (§ 191); ses coefficients seront des fonctions cycliques àe Xq^ ^t^ . • ., ^yi-i •
Si Ton effectue dans ôy la permutation t~* =^(^h^ g"^ h)^ % se transforme en 6v+i (§ 192, 4); les fonctions 9v se permutent donc cycliquement.
Il en est de même quand on fait la substitution o- = (s, s*^); le système des fonctions 9 possède donc les propriétés a, ^,y, 8 (§ 192).
Si Ton remplace les variables x par les variables Ç, et, par conséquent, les^ par les yj, la fonction Oy devient, d'après le théorème final du § 192, une fonction rationnelle de /fy,
(7) ' Qv = Q(A:y); l'équation (6) montre alors que
(8) (eS^.) = Qv(£'-v,0.
Si l'on remplace (e'*», \) par l'expression (5) du § 193, on trouve, pour (e^v, Yj), une expression de même forme, avec cette seule différence que Ky est remplacé par QyKy. Les fonctions QyKy ont les mêmes propriétés essentielles que les fonctions Ky; seulement quelques-unes peuvent se réduire à zéro. La même transformation, faite dans l'équation (6) du § 193, fait connaître la valeur de Yio.
Ces considérations nous affranchissent des hypothèses restrictives du § 190; nous pouvons donc énoncer le théorème général suivant :
L Toute racine \ d^iine équation métacyclique, de degré premier n, peut être mise sous la forme
(9) { = a-+-2kv';-<:;-
A est une quantité rationnelle; A-o, A*,, ..., kn^ii sont les n racines distinctes non nulles d'une équation métacyclique de degré n — i; Ky est une fonction rationnelle de A-y, dont la forme est la même quel que soit Vindice v. Les exposants /'o, Tj, . . ., /*„2 sont les restes positifs minima des nombres i , g y g^-i • • •> g^^^\ g ^^^ une racine primitive de n. Les n valeurs.
