CHAPITRE XVIII. — RACINES DBS ÉQUATIONS MÉTACYCLIQLES

qiûon déduit de la formule (9) en attribuant aux radicaux

Tv = /Av leurs différentes valeurs, sont les n racines d^une seule et même équation rationnelle.

La formule (9) résulte de réqualloo (6) du § 193, lorsqu'on remplace A et KvparnÂet /iKv, eu vue de simplifier l'expression.

La réciproque du théorème I est aussi vraie.

En eflfel, appelons e Tune quelconque des racines /i'*°** imaginaires de Tunité, et posons

(10) Ç;i = A -f. 2 £'^''»Kv<'-'<ïi". . .<::h/.-i»

Il prenant les valeurs o, 1, 2, . . ., /i — i ; ou bien, pour abréger,

(II) |a=A-i-2**'"''^vV^^,

en posant, comme précédemment,

Nous avons maintenant à rechercher comment varie Ç^i, lorsque : 1^ on choisit une autre détermination de Tun des radicaux

2° on permute cycliquement les quantités A'o, A"o ..., /r„2.

Changeons le signe de Tun des radicaux, Ta par exemple, ce qui revient à faire la substitution

j3 étant un exposant quelconque et Al'un des indices 0,1,2,.. .\n — i . L'indice de r devant être pris par rapport au module n — i, le radical Ta aura dans Téquation (12) Texposant rrt,.v-o-2= ^v-a-»; la substitution (i3) produit donc aussi le changement

(i4) (vs^r £?'•>-«-« v^r;).

D'après la définition des nombres a, on a

Ta+p^/'a'-p (mod/i);

si donc on transforme la formule (ii) parla substîlulîon (i3), h devient h -h ^/'^a-i î donc :

1. La substitution (i3) produit parmi les indices des racines \

la permutation cyclique

Faisons en second lieu la permutation cyclique il lui correspond les substitutions

Ça devient alors

Donc :

2. La permutation cyclique (i5) produit parmi les indices des racines \ la permutation

Considérons maintenant une fonction symétrique rationnelle (ou simplement métacyclique) des racines \ :

S (çoî çp • • -f in-\ );

en y remplaçant les racines par leurs valeurs (i o), on la transforme en une fonction des radicaux

Cette fonction ne change pas quand on remplace un des radicaux par Tune quelconque de ses /z déterminations; par conséquent cette fonction est rationnelle par rapport à Ar©, ki, . . ., A'^-a- Par suite de la seconde propriété précédemment démontrée, cette fonction ne change pas non plus, quand on effectue sur les quantités A*v la permutation cyclique (/cqj ki, ..., kn^2)] comme ces quantités A\ sont les racines d'une équation cyclique du corps K, cette fonction S est elle-même un élément de K.; elle est donc rationnelle. En appliquant ce raisonnement aux coefficients de Té-