CHAPITRE XVIII. — RACINES DES ÉQUATIONS MÉTACYCLIQUES

quation admettant pour racines les quantités (lo), il en résulte que ces quantités sont les racines d'une équation de degré /z, rationnelle dans le corps K.

On peut faire les remarques suivantes au sujet de l'irréductibilité de cette équation.

Si le radical \/Rq ne s'exprime pas rationnellement en fonction de ko, la fonction

(17) ar« — Ro

est irréductible (§ 187) dans le corps K(/ro), qu'on déduit de K par l'adjonction de A-o- D'après l'équation (8) du § 193, on peut exprimer l'une quelconque des racines Ç, par exemple Ço» rationnellement en fonction d'une des racines de cette équation, ^Roi

on obtient ensuite toutes les autres racines Ç en remplaçant ^/Ro par les différentes racines de (17). Soit donc ^(^o) = o ^^^^ équation rationnelle dans le corps K(A'o)i à laquelle satisfait une des racines ^\ la fonction (17) étant irréductible, cette équation devra admettre toutes les autres racines Ç; par conséquent l'équation de degré n, admettant les n racines Ç, est irréductible dans le corps K(X*o), et, à plus forte raison, dans le corps K.

Si au contraire y/Ro fait partie du corps K(A*o), toutes les quantités y/Rv sont contenues dans le même corps, ainsi que cela résulte de l'équation (8) du § 193. Par conséquent, toutes les racines Ç appartiennent au corps K(A"o>ê).

La substitution (A'o,A:<) transforme Rv< enRyCt, par conséquent,

^Rv i en ev\/Rvj «v étant une racine /i'^"® imaginaire de l'unité. Cette même substitution, effectuée dans l'équation (8) du § 193, donne

£0 doit appartenir au corps K(A*o), et de même les quantités d'ailleurs la même substitution transforme Sy en Sv+<. La somme

A H- Kq Sq -H Kj S I -f- ... -h Ky— s Sy— J

esl donc un élément du domaine primitif de rationalité K; d'après Téquation (i i), c'est d'ailleurs une des racines Ç. Donc réciproquement :

II. Toute quantité \ représentée par la formule (9) est racine d'une équation du degré n dans le corps K.; cette équation est irréductible, si l'une des quantités Ç n'est pas elle-même un élément de K.

§ 195. - RéaUté.

Le corps K étant réel, on a vu au § 188 qu'il existe deux espèces d'équations métacycliques de degré premier n; les unes ont /i — 1 racines imaginaires et une seule racine réelle ; les autres ont toutes leurs racines réelles. Nous avons vu de même (§ 172) qu'il y a deux espèces d'équations cjcliques de degré pair, à racines toutes réelles ou toutes imaginaires.

Si l'équation cyclique, dont les racines sont A"o, ki, ..., A'„2, appartient au premier genre, c'est-à-dire si toutes les quantités k sont réelles, et par suile aussi les radicaux To, T|, ..., t«2j l'équation (10) du § 194 montre que Ço est réel; mais Çy^ et ç>i sont imaginaires conjugués.

Si au contraire les quantités k sont imaginaires, on voit (§ 172) que A'v et k^ n -1 sont imaginaires conjugués. <P désignant une

fonction rationnelle, on pourra poser, d'après l'équation (8) du

yXZï^=*(*v)("v^)^* ,

ou bien

^R^^^, "/r; = *{k,)ivw,y ' ^'.

Puisque g est une racine primitive de /i, le nombre g ^ -h i est divisible par /i; le second membre est donc rationnel. En désignant par W une fonction rationnelle, on aura

^R^^^Î/Rv=V(X:v);

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on conclul de cette formule que W(k^) est donc réel. Il eu résulte que

i et ^Wy

sont imaginaires conjugués. En efîet leurs puissances d^exposant n

sont imaginaires conjuguées, ces quantités elles-mêmes le sont

aussi, à moins que Fune ne diffère de la conjuguée de Tautre par

une racine ;i*^™® imaginaire de Tunité. Comme, d'autre part, leur

produit est réel, cette racine ne peut être que l'unité. D'ailleurs

on a

ryr^ — r n-i (mod/i);

la formule (i i) montre alors que toutes les racines Ç sont réelles. On a ainsi démontré, dans l'hjpolhèse d'un corps réel K, le ihéorème suivant :

Lorsque Inéquation cyclique, dont les racines sont ko, Ati, . . . /»//-2 7 « toutes ses racines réelles, l^une des racines $ est réelle, les autres sont imaginaires ; si les racines de celte équation cyclique sont imaginaires, toutes les racines \ sont réelles.

§ 196. — Équations métacydiqnes du cinquième degré.

Les théorèmes des paragraphes précédents nous ont permis de mettre les racines d'une équation métacyclique sous une forme absolument générale ; on pourra donc les former réellement, en supposant connues les racines des équations cycliques. La théorie de la division du cercle en parties égales nous fournit des systèmes complets d'équations cycliques de tout degré. En prenant par exemple le corps des nombres rationnels, nous pourrons former des équations métacycliques en nombre arbitraire. Elles comprennent toutes les équations appartenant au corps des nombres rationnels; c'est là un théorème très remarquable dû à M. Kronecker, que nous démontrerons dans le tome IL

Nous nous bornerons pour Tinslant à appliquer les résultais précédents à un problème particulier; nous nous proposons de trouver les racines de toutes les équations métacycliques du cin- (|uième degré dans un corps quelconque K.

A cet effet, il faut et il suffit qu'on puisse déterminer d'une façon générale les racines âto, fcty A"2» A'3 d'une équation cyclique du quatrième degré, à condition que A*o, A'i, k^, kz soient distinctes et qu! aucune déciles ne soit nulle.

Nous nous servirons pour cela de la fonction

qui ne doit pas être nulle, et qui est toujours réelle, si K est un corps réel; car, ou bien /:©, A*!, k^^ Aj sont réels, ou bien A'o, A** et A*|, A"3 sont des couples de racines imaginaires conjuguées.

La permutation cyclique (o, 1, 2, 3) change le signe de iv; le carré de w est donc une fonction cyclique, qui est connue par hypothèse. Les petites lettres a, b, c, . ,, désignant des éléments de K, c'est-à-dire des quantités rationnelles, posons

remarquons encore que chaque fonction des quantités A", qui change de signe par suite de la même permutation cyclique, est

le produit d'une quantité rationnelle par y/c.

Il ne s'agit donc plus que de former des fonctions cycliques en nombre suffisant pour pouvoir calculer les quatre quantités A*©, A*i , A'2, A'3,el les exprimer algébriquement à l'aide de quantités rationnelles indépendantes.

Les fonctions

(A-,A0'-f-(A,-A3)S (Ao-A,)»-(A,-A-3)'

(Ao~A,)(A,-A-,)

sont deux autres fonctions cycliques; on trouve donc, en désignant par a el b des quantités rationnelles,

i (Ao — A2)2-i-(A, — /-8)2 = 8^», (3) •

( (X„ — A,)* — (Al — A3)* = 8a v/?.

Les trois quantités rationnelles a, 6, c ne sont pas indépendantes