CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS
d^un nombre pair^ les permutations de seconde classe d'un nombre impair de transpositions.
Il faut donc ranger dans la première classe la permutation 1,2, . • . , 72 qui laisse A invariable.
Voici encore une conséquence : De quelque manière qu'on déduise A' de A par transpositions successives, le nombre de ces transpositions est toujours de même parité, c'est-à-dire toujours pair si A' appartient à la première classe, impair s'il appartient à la seconde.
Si, dans toutes les dispositions
nous eflfectuons une même transposition, par exemple (i, 2), ces dispositions se changent en
En répétant la même transposition, nous reproduisons les premières. Donc les dispositions B, B', B", . . . sont toutes différentes, et ne sont autres, dans un ordre différent, que les dispositions A.
Comme, d'autre part, les différents produits P, P', P", . . . correspondant aux dispositions A, A', A" ..., changent de signe, lorsqu'on fait une transposition, il en résulte qu'à chaque disposition A de première espèce correspond une disposition B de seconde espèce et réciproquement.
Donc :
IV. Le nombre des permutations de première espèce est égal à celui des permutations de seconde espèce, donc égal à{U{n).
Ces théorèmes ont été déduits de la considération du produit P, c'est-à-dire d'une grandeur numérique. Nous verrons, dans le Chapitre XIV, comment on peut arriver au même résultat, sans utiliser cette fonction.
Pour /!= 3, on a, par exemple, les six dispositions suivantes; celles de la première ligne sont de première espèce :
86 LITRE I. — LES PRIIfCIPES.
§ 23. — Déterminants.
Considérons maintenant un système de n^ quantités, sur lesquelles on peut exécuter les opérations rationnelles. Pour les désigner d'une façon simple, nous emploierons des lettres à double indice, a^; i et k prennent la suite des valeurs i,a, 3, ...,i. Pour la clarté, nous disposerons ces grandeurs en carré, de telle sorte que toutes les lettres ayant le même indice supérieur se trouvent dans la même ligne horizontale, et toutes les lettres ayant le même indice inférieur dans la même ligne verticale. Soit A ce carré :
al
al
al
al
al
Pour abréger, on appelle lignes les lignes horizontales, et colonnes les lignes verticales.
Ce carré doit nous représenter non seulement l'ensemble des grandeurs écrites entre les deux traits verticaux,- mais aussi une certaine combinaison arithmétique de ces grandeurs, qu'on sait calculer, dès que les valeurs numériques des quantités sont données.
Formons le produit des termes écrits sur la diagonale allant de gauche en haut à droite en bas :
(2) M = a\a\al...a'^^l
permutons-y les indices inférieurs de toutes les manières pos^ sibles; on forme ainsi d'autres produits M', M'', ... au nombre de n(/i); donnons à chacun de ces produits le signe -H ou — , selon que la permutation employée est de première classe ou de seconde; il vient ainsi
(3) W = :halal.,.al^.
La somme de ces produits
est dite la valeur de A.
CHÀPITAB II. — DÉTERMINANTS. 87
A s^appelle le déterminant des n^ élëmenls a* 5 on dit, si cela est nécessaire, qu'il est à n lignes et à /i colonnes, du w**™* degré ou du /i'*"* ordre. Le terme M de cette somme, c'est-à-dire le produit de tous les termes placés sur la diagonale, s'appelle le terme principal.
Pour le cas rfe /i =^ 2, on trouve
Pour « = 3, il vient (d'après la formule (3) du paragraphe précédent)
a\ala\
Avec d'autres notations, ces formules s'écrivent ainsi :
^ ad — bCf
r= ab'c' -^ac'b"
bc'a' ba'c"
ca'b' cb'a\
Nous recommanderons au lecteur de calculer la valeur de quelques déterminants numériques.
Dans beaucoup de cas, la notation (1) est trop longue; on en a donc adopté d'autres. Jacobi se contente d'écrire le terme principal
A=: 2diaîaJ...a^,
Kronecker écrit d'une façon encore plus abrégée
A = |afl.
Ces deux notations ne peuvent d'ailleurs être employées que si les éléments du déterminant sont des lettres à double indice^ elles sont inapplicables lorsque les éléments sont numériques.
On rencontre quelquefois des déterminants dans lesquels
ai = ajf.
dans le tableau (1), les éléments symétriques par rapport à la dia-
88 LIVRB I. — LES PRINCIPES.
gonale sonl alors égaux. Dans ce cas, nous placerons généralement les deux indices en bas, et nous écrirons
De tels déterminants sont dits symétriques.
§ 24. — Propriétés principales des déterminants.
La définition des déterminants donne facilement les premiers théorèmes nécessaires pour les applications. Supposons que, dans le produit [§ 23 (3)]
(1) M'--^±ai,aJ,...<,
nous changions Tordre des facteurs; sa valeur ne change pas. Nous pourrons donc ranger les facteurs dans un ordre tel que les indices inférieurs ne soient autres que les nombres 1,2, ...,/2 dans l'ordre naturel. Les indices supérieurs formeront alors une certaine permutation; M' aura donc la forme
(2) M'=---i=aÇ'aP«..,aP'';
la disposition
sera une permutation des nombres 1,2. ...,//, de même que la
disposition
A. = (ai, Œj, ...,«„ 1.
Pour obtenir la disposition B, il suffit d'efiectuer, sur les facteurs de M' et en sens inverse, les transpositions qui ont conduit à A, de manière à replacer les indices inférieurs dans Tordre naturel. Il en résulte que B et A appartiennent simultanément à la première ou à la seconde classe, puisqu'elles se déduisent de I, 2, ...,/2 par un même nombre de transpositions. L'ensemble des dispositions B représente donc, aussi bien que l'ensemble des dispositions A, toutes les permutations des n éléments^ car deux dispositions A différentes ne peuvent jamais conduire à la même disposition B.
