CHAPITRE XVIII. — RACINES DES ÉQUATIONS MÉTACYCLIQUES

les unes des autres; diaprés les équations (2)et (3), elles vérifient la relation

Les équations (3) donnent maintenant

Ao — Aj = 2 ^ b -h a s/c,

ky — A'3 = 2 \ b — a^c\

ces deux radicaux vériGent la relation

( 6 ) V^c = \' b -\- ayjc y b — a /c

C et B désignant deux autres quantités rationnelles, on a

j Xo -+- A'i -^ kt -h A'a = 4 C,

( Xo — X , -+- Xj - X, = 4 B /c.

I X-, -hX-3 = 2(c — B/c);

il en résulte, d'après (5),

Xo = C -H B /c -h V/'^ -+- a y/c.

Inversement, il est aisé de montrer que ces quatre quantités sont les racines d'une équation cyclique du quatrième degré. Posons en effet, pour abréger,

<io) /• = /c, ^ = yb -k- a^Cj o'=zyb — a^r.\

il vient, d'après (6),

toute fonction rationnelle des quantités A:©? ^*i > ^'27 ^3 est une fonction linéaire à coefficients rationnels des six radicaux

I» '*, pj P'» '•?» ''P'-

^5';î livre m. — les grandeurs algébriques.

La permulalion cyclique (A*o? ^""i» ^'a? ^s) change

en

en répétant plusieurs fois cette opération, on voit qu'une fonction cyclique des quantités k ne peut subir aiicun changement lorsque, dans leur représentation linéaire à l'aide des six radicaux, on fait sur les éléments les quatre permutations suivantes :

pS

rp'.

-rp\

rp.

En additionnant les quatre expressions ainsi obtenues, on trouve, pour la fonction cyclique des quantités A", une valeur rationnelle. Pour former l'équation du quatrième degré admettant pour racines les quantités A*, il est préférable de prendre pour inconnue A- — C = j:. Un calcul très simple conduit à Péquation

(il) x^ — 2(B*c-+- 6)ar> — 4Bacar-i- B^c* — 2B*6c -f- b^ — a-c = o.

La représentation des quantités A* parles équations (9) n'est pas encore absolument satisfaisante, caries quantités a, 6, c qui y figurent sont assujetties à vérifier la relation (4), et nous nous sommes proposés de trouver une forme ne contenant que des grandeurs indépendantes.

Considérons d'abord le cas particulier où 6=0, d'où a = /. Les rqualions (9) deviennent alors

ko = C -h B /c -J -=~ /c,

A3=G-Bv/c— ^^ Vc;