CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS

On conclut de là la proposition suivante :

I. On forme aussi le déterminant A, en permutant dans le terme principal a\a^. . .a" les indices supérieurs de toutes les manières possibles, en donnant à chacun des produits ainsi formés le signe -f- ou le signe — , selon que la permutation employée est de première ou de seconde classe^ et en faisant enfin la somme algébrique des produits obtenus.

Dans la figuration du déterminant [§ 23 (i)], les indices supérieurs indiquent les lignes, les indices inférieurs les colonnes; nous pouvons donc donner à notre théorème la forme suivante :

II. Un déterminant ne change pas quand on prend les lignes pour colonnes et inversement.

Si dans toutes les dispositions A, A', A'\ ..., des /i éléments nous échangeons deux éléments quelconques, Tensemble de ces dispositions reste le même; mais chaque disposition de première classe devient de seconde et inversement. Si donc dans les termes M, M\ M ", . . . qui forment A, on permute deux indices inférieurs quelconques, un terme qui avait le signe -f- se change en un autre terme de A qui a le signe — et inversement; donc A change de signe.

D*où, en tenant compte de 11, la proposition suivante :

III. Si Von permute dans A deux indices inférieurs^ ou deux indices supérieurs, A change de signe.

Ou encore :

Quand on échange deux lignes ou deux colonnes, le déterminant change de signe.

On en conclut aussi ce théorème plus général :

IV. Si Von permute dans un déterminant les lignes ou les colonnes, sa valeur absolue ne change pas; le signe change ou ne change pas, selon que la permutation employée est de seconde ou de première classe.

Le théorème III fournit la proposition fondamentale suivante :