V. Si deux lignes ou deux colonnes sont formées des mêmes

go LITRE I. — LES PRINCIPES.

éléments occupant les mêmes rangs {si deux lignes ou deux colonnes sont identiques), le déterminant est nul.

En efTety d'après HT, rechange des deux lignes produit un changement de signe; comme elles sont identiques, le déterminant ne doit pas changer; donc A ne peut avoir que la valeur zéro.

La proposition V peut encore s'énoncer de la manière suivante :

VI. On obtient un déterminant nul, quand on remplace les éléments d^une ligne ou d'une colonne, par les éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne, ou, plus brièvementy si l'on remplace un indice inférieur ou supérieur par un autre.

§ 2". — Déterminants mineurs.

Lorsqu'on développe le déterminant

chacun des nombres i, 2. ..., n se présente une fois, et une seule, comme indice inférieur dans chaque terme de ce développement. On pourra donc mettre a\ en facteur dans un certain ensemble de termes, aj dans un autre, etc. Chaque terme du déterminant figurera dans un de ces ensembles et dans un seul.

Désignons les différents groupes ainsi formés par «JA}, «JAJ. . . ., a"A^'; nous pourrons écrire le déterminant sous la forme

(1) A =a;A| -4-aJAJ-4-...-ha«A«.

Au lieu de choisir parmi les indices inférieurs l'indice i, nous aurions pu tout aussi bien prendre l'indice v, et écrire A sous la forme

(•2) A = a< A * -ha* Av -h...-haJA;.

Le produit aÇ^A]^ désigne l'ensemble de tous les termes qui renferment le facteur aj^.

Ce que nous avons dît pour les indices inférieurs s'applique