CHAPITRE If. — DÉTERMINANTS

aussi aux indices supérieurs, par suite, on peut aussi mettre le déterminant sous la forme

A = at^Af-4.aÇAtf-+- ..-f-<AjJ,

\L étant Fun quelconque des indices 1,2, ..., n.

Les quantités A^ définies par ce qui précède s'appellent les déterminants mineurs (ou encore les mineurs) du déterminant A.

Pour trouver leur loi de formation, considérons d'abord les termes qui forment le produit aj A|. On l'obtient en laissant fixe rindice inférieur i dans le terme aja'.-.a^, en permutant de tontes les manières possibles les indices inférieurs 2, 3, . . . , n, en affectant ces termes du signe -|- ou — selon la règle précédemment indiquée. Il en résulte que AJ est le déterminant d'ordre

Al-

que l'on déduit du déterminant A, en y supprimant la première ligne et la première colonne.

On en conclut facilement la signification de AÇ*; par v — i échanges de lignes, on peut amener la v'*"* à la place de la première; par [JL — I échanges de colonnes, on peut amener la jx*^"* à la place de la première. A ces deux exceptions près, l'ordre de succession des lignes et des colonnes n'est pas changé. Le nouveau déterminant a même valeur absolue que l'ancien, mais possède de plus le facteur ( — i)i*+^. L'élémentaJ est remplacé par a{f; donc :

Le déterminant A^ s^ obtient en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent a|f, et multipliant par ( — i)i*^"*^ le déterminant ainsi obtenu.

C'est ainsi que le déterminant du troisième ordre peut s'écrire

= a (^'c'— b'c') — bia'if— a'c') -t- c{a'b' - a" 6'),

^ Ln-mE L. —

Les él^rmenls de A^ ne coDt;«ir.<e-3l f»a* ît ai-^-irf > pxra^ lears iodice§ inféricore: Af ne chanre donc f«»5. lDrs.r:e d»Jis 1« déTeloppemenl de A, on reiatUce > par un axitre »:=!?? -x. Cela retient vîfîLîement à reD-jre identique* den^ oxi-rrre* du d^lerminaoL q^iî derienl donc nul. Nous obtenons a:r^ cse relation très importante

6 o^alXl^^lX^^ -a;V-

dan* b quelle 'x et v sont deox nombre* d:5crei::t5 de la suite i.

I^ relation 3 donne de même

Par exemple, remplarons dans îî <ï. f», r par a, b. c\ on trouve ridenlité facile à v.^rîfier

Multiplions l*:^ d^ux menibre? de '• par un ûicleur quelconque / et ajofitons membre à m'ambre avec 2 : il \ienl

.9, A- «;-•/<«: V:- '/j-za: A;-.. - i^-lal Kl

relation qui crxprime le théorème >uivant :

VIL Un déterminant ne change pas de valeur, '/uand on ajoute aux éléments d'une ligne les éléments de même rang d^une autre ligne, multipliés par un facteur arbitraire.

La même proposition est aussi vraie pour les colonnes. On l*emploie avantageusement pour simplîGer et calculer les déterminants.

Ajoutons encore les théorèmes suivants qui se déduisent immédiatement des égalités ''21 et ''3') :

VI IL Lorsque tous les éléments d^une même ligne ou colonne ont un facteur commun, le déterminant proposé est égal au produit de ce facteur commun par le déterminant obtenu, en supprimant le facteur dans les éléments considérés.