CHAPITRE II. — DÉTBRMINAIVTS

dépeadanles, le déterminant

est une fonction homogène du /i'*"^ degré de n variables; mais chaque variable tCj figure que linéairement. D'après la représentilionà l'aide des déterminants mineurs [équations (2) et (3)], OA reconnaît facilement que cette fonction est irréductible. Soit, en effet, F le facteur irréductible de A qui contient la variable a^] par suite de Téquation (2) ce facteur devra être une fonction linéaire et homogène des variables ay, a^, . .., a^'; par suite de Péquation (3), ce sera aussi une fonction linéaire et homogène des variables af, af, . . ., aJJ (§ 20). F contient donc toutes les variables et, par suite, il est identique à A. D'où ce théorème :

X. Le déterminant est une fonction irréductible de ses n^ éléments.

§ 26. — Extension de l'idée du déterminant mineur.

On peut généraliser de la manière suivante les considérations du paragraphe précédent.

De même que nous avons groupé précédemment tous les termes qui contenaient en facteur a\, nous groupons maintenant tous les termes qui contiennent en facteur

ff . O^ » . • iZ>< f

V étant Tun quelconque des nombres 1, 2, ..., n. Nous déduirons ces termes du terme principal a\a\.. ,a"^y en laissant invariables les indices inférieurs i , 2, . . ., v, en faisant les permutations des indices de v -|- 1 à /z, en appliquant enfin la règle des signes. D'après cette remarque, l'ensemble de ces termes n*est autre chose que

ay+l • • • **||