IV. Le déterminant mineur AL'V 'S change seulement de

signe par une permutation de deux indices supérieurs ou de deux indices inférieurs ; plus généralement, il ne change pas de valeur absolue, quand la disposition a, , a^, . . ., a„ est remplacée par une autre; il change ou ne change pas de signe, selon que cette disposition est remplacée par une permutation de même classe ou de classe différente.

Désignons par a',, a'^, ..., a'; une disposition des nombres ai, ttj, . . ., 0^; le déterminant A conlient aussi l'ensemble des termes de la forme

-4- ^"1 ^P« •rP^Al^'-ri Pv

En faisant la somme de tous les termes de cette forme, il vient

ai.a, "X; V 01, jCj Xv

La somme S ne représente pas autre chose que le déterminant

à V lignes et v colonnes

a, CLi av

Pt P-

Nous l'appellerons le déterminant mineur complémentaire

de A"^"^»' ■ •^■', et nous le désignerons par B^*'^' ^\ 11 contient exac-

temenl les lignes et les colonnes qui manquent dans A^''^* ^*.

Abstraction faite de son signe, il a même valeur que le déterminant d'ordre n — v

L'ensemble des termes, tels que (6), peut donc se désigner par

Prenons maintenant pour ai, as, . . ., ay chacune des combinaisons des nombres 1, 2, . . ., /i pris v à v; leur nombre est Cy, ; nous trouvons alors, en prenant toujours la même combinaison ?i, ?2? •••» ?v, le ïnéme nombre CJ', de termes de la forme (7); chaque terme du déterminant A se trouve dans un terme de celte somme, et dans un seul. D'où :

V. En faisant la somme de toutes les expressions de la forme (7). on obtient le déterminant A sous la forme

a ^ ' ^Brf 0(|,a£.. . .,Xv ^l'^i ^v*

Bien entendu, on peut laisser fixe la combinaison des indices inférieurs, et sommer par rapport aux indices supérieurs. C'est là le théorème de Laplace.

Un cas particulier, qui se présente souvent, est celui où ^,,

?2î •••? ^v pï'ennent les valeurs i, 2, ..., v, et où af. est nul,

lorsque /' prend une des valeurs i, 2, ..., v, et s simultanément

'une des valeurs v -h 1 , . . ., /i. Alors toutes les quantités telles que

'^a'aV^..av sout nullcs, à l'exception de Aj;*; ;!^, et l'on trouve

» l,t, ...,V pl.î, ...,v

On peut donner de ce théorème la figuration géométrique suivante. Représentons le déterminant A par un carré, et supposons que le rectangle couvert de hachures ne contienne que des éléments nuls; appelons B et G les déterminants de v et /i — v lignes rcj)résentés par les petits carrés, on aura