CHAPITRE II

DÉTERMINANTS

On peut obtenir une antre forme du déterminant Â, à Taide des premiers et seconds déterminants mineurs, de la manière suivante :

Choisissons dans A la ligne et la colonne qui se croisent sur l'élément a^. Dans chaque terme de A figure un élément avec

Fig. I.

l'indice inférieur v et un élément avec Tindice supérieur (jl. Le déterminant A renferme donc en premier lieu la somme représentée par «v AÎJ"; et, en outre, les différentes sommes représentées par des termes de la forme a^ajf A^'JJ; i désigne Tun quelconque des indices différent de [x; A* Tun quelconque des indices différent de V.

\ï. On peut donc poser

OU bien, d'après IV,

Remarquons encore que A^'l est le premier déterminant mineur, correspondant à l'élément ai, du mineur sl n — 1 lignes A!^; car Aï]i est le coefficient de o^a\., dans le développement de A; X^ est celui de a^; donc Aj^i est celui de a[ dans le développement de A|^.

D'après ce théorème, on peut développer, par rapport aux éléments de la dernière ligne ou de la dernière colonne, le déler-

lOO

minant bordé

LIYRB I. — LES PRINCIPES.

on trouve ainsi

al

U = yA-2 2"'''^^^'

Celte équation se déduit de (lo) en changeant n en n -h i , et en distinguant par une notation différente les éléments de la dernière ligne et de la dernière colonne.

En remplaçant g par g — u, u étant une arbitraire, on trouve la formule souvent employée

Vf

= U-uA,

U ayant la signification (12).

Pour les déterminants d'ordre supérieur, il est parfois utile d'employer une notation empruntée au Calcul différentiel. On pose par exemple

§ 27. — Équations linéaires et homogènes.

La principale application des déterminants, le problème qui a donné naissance à la tliéorie, c'est la résolution des équations linéaires. Nous prendrons ce problème de suite sous sa forme générale ; les formes particulières ne donnent guère de simplifications ; les résultats correspondants se déduisent aisément de ceux du cas

général.