X -^yi ^ (a -h bi) -=■ x — an- ii^y — b

La multiplication donne

{x-^yi){a-{- bi) = xa — yb -^ i(xb -¥ ya)^ i* = — i,

{x -hyi) {x —yi) = a?* -+-^»,

ou bien

x-\-yi __ ax -\- by -^ ^((^y — bx) a->r bi~~ a*H- 6*

égalité qui définit la division, sauf le cas où le diviseur a + bi serait nul.

22 lîfTRODUCTION.

Les nombres de la forme ix sont dits purement imaginaires; lest V unité imaginaire. Les nombres de la forme a -\-bi sont dits imaginaires ou complexes. Le système des nombres réels et celui des nombres purement imaginaires en sont des cas particuliers.

On peut donc exécuter, dans le domaine des nombres complexes, les quatre opérations fondamentales, sauf la restriction que, pour la division, le diviseur ne doit pas être nul; le calcul des nombres réels est un cas particulier de celui des nombres complexes.

D'après Gauss, on représente les nombres complexes 5 = :r -f-^f par les points d'un plan rapporté à des axes rectangulaires; le point de coordonnées :r,j^ est VaJJîxe du nombre z = x +yi- Les points de l'axe des x représentent les nombres réels; les points de Taxe des ^, les nombres purement imaginaires iy. L'origine des coordonnées représente le zéro.

Le rayon vecteur allant de l'origine au point s, de valeur p = y/:r^ 4-j/*2^ s'appelle la valeur absolue, ou bien (expression plus ancienne) le module du nombre complexe z.

o est le seul nombre ayant zéro pour module. Tout nombre positif est le module d'une infinité de nombres complexes; les af- (ixes de ces nombres sont sur un cercle ayant l'origine pour centre.

Deux nombres imaginaires qui ne diffèrent que par le signe de t, X -\- iy ei X — iy^ sont dits imaginaires conjugués. Leur produit est égal au carré de leur module.

Lorsque de deux nombres imaginaires conjugués Tun est nul, il en est de même de l'autre ; donc une égalité exacte reste exacte quand on y remplace i par — i.

Démontrons encore le théorème suivant d'un usage fréquent :

Le module d'une somme de deux nombres complexes non nuls n'est jamais supérieur à la somme des modules des termes ; il n'est égal à cette somme que si le quotient des deux nombres est réel et positif.

Soient, en efiel,

INTRODUCTION. a3

On a

(r-t-p — R)(r-h p -hR) = (r-+-p)2— R*=2(rp —ax-^by).

Le second membre est certainement positif, si ax-^- byS.o, Lorsque ax 4- by est positif, l'égalité

r^p^ — {ax -^ by)^ = {ay — bxy

montre que r^^ax -{- by^ et ne lui est égal que si ay = bx. Il en résulte r4-p = K, Tégalité n'ayant lieu que si ay — 6a: =o, ax -^ by> o] ce qui démontre la proposition.

Dans la représentation géométrique, ce théorème exprime que dans un triangle un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Il résulte aussi de ce théorème que le module d'une somme

ne peut être plus petit que la différence des modules des termes.

Appliquons, en effet, le théorème précédent à la somme c = Z — z;

il en résulte

r£RH-p ou R^r — p,

L'égalité n'aura lieu que lorsque le quotient - est réel et négatif.

Il nous reste à dire un motdu calcul littéral, le procédé le plus important de l'Algèbre. Son emploi est si général qu'on le prend souvent comme synonyme d'Algèbre. Nous supposerons connues les règles de ce calcul.

Les égalités entre expressions littérales peuvent être de deux espèces. Ce peuvent être des identités; les expressions dont on a écrit l'égalité sont telles, que, par l'emploi du calcul algébrique, on puisse les mettre exactement sous la même forme. De telles égalités littérales donnent des égalités numériques exactes, lorsqu'on y remplace les lettres par des nombres quelconques, réels ou imaginaires, sous la seule condition de n'avoir à faire aucune division par zéro.

On désigne quelquefois les lettres qui figurent dans de telles égalités sous le nom de variables; on peut supposer, en effet, sans qu'il y ait contradiction, qu'on remplace les lettres par une succession continue de valeurs numériques.

24 INTROD0CTIO>.

Il existe une autre espèce d'égalités littérales qui ne possèdent pas ce caractère de Tidentité. Elles imposent, au contraire, une condition aux nombres quMl est permis de mettre à la place des lettres, de manière que l'égalité soit toujours exacte. L'Algèbre a pour but de déterminer ces valeurs numériques, de résoudre ces équations. Les lettres sont alors désignées par le nom A^inconnues. Les équations renferment très souvent les deux espèces de lettres; les unes peuvent recevoir des valeurs arbitraires; la valeur numérique des autres doit être déterminée.