CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS

Considérons un système de m équations du premier degré, homogènes par rapport à n inconnues X|, x^^ . , ., x„ :

«j X| -h «1 Xi

a'„ Xn

a. Xj -I- a, iCï-f-

dans lesquelles les quantités af sont supposées connues. Nous ne ferons aucune hypothèse sur les nombres m et /?, et nous nous proposons de trouver tous les systèmes de valeurs des inconnues Xx , ^2, . . ., J?/ï, vérifiant le système des équations (i).

Une première solution est évidente. Quelles que soient les valeurs des coefficients af, le système (i)est vérifié par

Xn= O.

Mentionnons encore un autre cas limite; lorsque les coefficients a* sont tous nuls, les équations sont vérifiées par des valeurs arbitrairement choisies des inconnues.

Avant d'aborder le cas général, faisons quelques remarques.

Rangeons les coefficients des équations (i) dans un tableau rectangulaire

Ce tableau, qui n*a encore par lui-même aucune signification numérique, s'appelle une matrice; c'est l'origine d'un certain nombre de déterminants.

On obtient ces déterminants en supprimant dans la matrice des lignes et des colonnes en nombre arbitraire, sous la seule condition que les éléments restants forment un carré, que l'on considère comme un déterminant.

C'est ainsi qu'on déduit de la matrice des déterminants du premier, du second ordre, etc. L'ordre le plus élevé est égal à n ou à m, selon que n ou m est le plus petit nombre; ce sera /i, si n = m.

Supposons que, parmi les déterminants d^ordre v déduits de la matrice, il y en ait au moins un qui soit différent de zéro, tandis que tous les déterminants d'ordre v 4- i et d'ordre supérieur sont nuls. Le nombre v sera l'un quelconque des nombres inférieurs à Al et m (ou simplement inférieur à /i, si n = m).

Ce norribre v existe toujours, si nous excluons le cas déjà trailé, dénué de tout intérêt, où tous les coefficients a* sont nuls.

Sans restreindre la généralité du raisonnement, on peut supposer que ce déterminant non nul (le déterminant principal)^ soit formé avec les éléments de la matrice, contenus à la fois dans les V premières colonnes et les v premières lignes; soit

ai

al

al

aX

ce déterminant. En effet, on peut toujours supposer que les équations, et dans ces équations les inconnues, sont disposées dans tel ordre qu'on voudra.

Nous désignerons, comme précédemment, par A* le mineur de A relatif à a^ ; les indices i et k peuvent prendre toutes les valeurs de I jusqu'à V.

Si l'on fait d'abord l'hypothèse y=:in^ ce qui suppose que r)i n'est pas inférieur à /i, les équations (i) n'admettent pas d'autre solution que celle fournie par les équations (2).

Considérons, en effet, les n premières des équations (1)

a} xi+ rtj j-j-h. . .-4- a^Xn — o,

Multiplions leurs deux membres respectivement par AjJ^, A|^, . . . , Aji, [JL étant l'un quelconque des indices i, 2, ..., /i, et ajoutonsles. On sait [§ 23, formules (2) et (6)] que

Aî,a) — - o ou = A,