CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS. lo

selon que À esl différent de [x ou non. Il en résulte qu'on trouve

et, comme A n'est pas nul,

Nous avons ainsî démontré la proposition suivante :

I. Lorsqu'un sys/ème de m équations linéaires et homogènes à n inconnues admet une solution dans laquelle' toutes les inconnues n'ont pas des valeurs nulles, il faut, si m^n, que tous les déterminants de degré n, déduits de la matrice, soient nuls.

Le cas particulier le plus fréquent esl celui où m = n; le théorème prend alors la forme suivante :

II. Un système de n équations linéaires homogènes par rapport à n inconnues, dans lequel le déterminant des coefficients des inconnues est supposé différent de zéro, n'admet d'autre solution que des valeurs toutes nulles,

ou bien :

Si un système de n équations linéaires homogènes par rapport à n inconnues, admet une solution dans laquelle une au moins des inconnues nest pas nulle, le déterminant des coefficients des inconnues est nécessairement nul.

Considérons maintenant le cas où v est inférieur à n. Le nombre m élant nécessairement supérieur ou égal à v, prenons les v premières équations du système (i), et écrivons-les sous la forme suivante :

a^X\-\r a^Xt-\-. . .-f- a^ J^v = — <ïv-+-i^v-»-i — • • • — <^n ^«» a\x\-\- a^X'i-\-. . .-^ aja^v ~ — a^^^Xy^^x — . . . — a„x„^

a^Xi-h ût j -Fj -h . . .-'.- a^Xy = — ^v -h 1 '''v-Hl — • • • — ^^ ^n

Soit, de nouveau, [jl l'un quelconque des indices i, 2, ..., v; multiplions les deux membres des équations (6) respectivement par AjÎl, AJ, ..., Aji, et ajoutons. Il vient [d'après le § 2S, (2) et (6)]

(7) AXy^^= — Gv-4-i,jiaj'v+i — ... — G/i^||,ar/,,

lo4 LIVRE 1. — LES PRINCIPES.

en posant, pour abréger,

(8) cx,^=i;<a;.

\ pouvant prendre les valeurs v4-i,vH-2, ...,/i.

Si Ton se reporte au § 2o [formule (2)], on voit que le déterminant Cx,pL se déduit du déterminant (4), en remplaçant les éléments de la iji''^'"'' colonne par a^J, a^ ^ . . ., a^.

A étant diflTorent de o, la formule (7) permet d'exprimer les inconnues ^i, Xy, ..., JCy linéairement en fonction de ^v+m XV4.2, .... x,t et des quantités connues.

11 nous reste à démontrer que les valeurs des inconnues, déduites du système (7), vérifient le système (1), quelles que soient les valeurs de Xv+i? «^+2? •••? ^«î ^ — v des inconnues peuvent donc être choisies arbitrairement ; leurs valeurs, supposées connues, déterminent celles des inconnues restantes.

Il suffit, pour le voir, de remplacer dans les équations (i), les inconnues a'i, Xo, ..., ^v par leurs valeurs, déduites des équations (n). On simplifie le calcul par l'emploi d'un signe ^/,

nous placerons au-dessus de ce signe la lettre par rapport à laquelle se fait la somme, au-dessous, les limites des valeurs que peut prendre cette lettre. A l'aide de ce signe, on peut d'abord écrire les. équations (7) sous la forme suivante :

(9) A^j|. = — ^ ^aJ^AjI^a"/,, ([x=: 1,2, ..., v).