V-hl./l l.V
k désignant l'un quelconque des nombres 1, ?., .. ., m, multiplions les deux membres par a^ et faisons la somme des résultats obtenus, en donnant à |jl la suite des valeurs i , 2, . . . , v; il vient
[l A I {JL
(10) A^«ji.rp,--=— ^ ^h^^ct'/iCi^Xty, A =1,7. ...,/n.
Ajoutons aux deux membres la somme
CHAriTRE II. — DÉTERMINANTS.
lOJ
on Iroiive
!,n V-Hl,i» L 1,V l,V J
Le facteur de x/i dans le second mehibre est [§ 26, (12)] le déterminant
. ai
.. ai
ai
Si donc A" est inférieur ou égal à v, ce déterminant est nul [§ 24, V]; si k est supérieur à v, ce délermin^nt est nul, puisque par hypothèse tous les déterminants d'ordre supérieure v, déduits de la matrice, sont nuls. A étant différent de zéro, l'équation (1 1) devient donc
( 1 3 ) N «i'ix ~ o> X = I . î, . . . , m.
Un
En d'autres termes, on retrouve les équations {i)\ elles sont donc satisfaites parles valeurs déduites de (7). Nous avons ainsi démontré ce théorème :
III. Lorsque dans un système de m équations linéaires et homogènes à n inconnues, tous les déterminants de degré ^^-^ \ déduits de la matrice sont nuls, le système admet une solution, dans laquelle n — v inconnues au moins sont arbitraires. Si m est inférieur à n^ il y a toujours une solution dans laquelle n — m inconnues sont arbitraires.
On rencontre fréquemment le cas particulier suivant :
IV. Lorsque, dans un système de n équations linéaires et homogènes par rapport à n inconnues, le déterminant des coefficients des inconnues est nul, les équations peuvent être vérifiées.par des valeurs des inconnues, qui ne sont pas toutes nulles.
Considérons encore en particulier le cas où m =y = n — 1 .
io6
Une seule des inconnues est alors arbitraire; les rapports mutuels des inconnues sont entièrement déterminés.
On peut donner à ce résultat la forme suivante. Considérons la matrice
Désignons par A|, Aj, . . ., A„ les déterminants d'ordre n — i déduits de cette matrice, et dont les signeç sont alternativement positifs et négatifs; supposons que l'une au moins de ces quantités soit diflérente (fe zéro. Le système
a^Xt alxi
• • • ~"~ C*/. Un — O,
ti" a
— }- , . . -- (I ff .r,i
a^-'xi-ha'i-^xt
admet des solutions définies par les équations
C'est ainsi que, pour /i = 3, on a le système
\ nx -i- by -\- cz = o.
qui se présente si souvent en Géométrie. Il admet les solutions
bc — cb' ca — ac' ab' — ba
§ 28. — Ëliminaticii d'inconnues entre des équations linéaires
par rapport à ces inconnues.
Un système d'équations linéaires étant donné, on peut se proposer, non pas de déterminer les inconnues, mais de reconnaître si le système admet une solution; on cherche donc les équations de condition que doivent vérifier les coefficients, pour que le système
