CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS. IO

admette une soliilion d'espèce déterminée. Etablir ces équations est l'objet de V élimination. La solution de ce problème est contenue iniplicitement dans ce qui précède ; nous allons pourtant revenir encore en détail sur quelques questions qui s'y rapportent.

Considérons, comme dans le paragraphe précédent, un système de m équations linéaires, homogènes par rapport à n inconnues. Dans quel cas ce système a-t-il une solution, dans laquelle toutes les inconnues ne soient pas nulles? Nous avons déjà vu que, si n >> m, il en est toujours ainsi.

Si n'S.ni^ la condition nécessaire et suffisante, pour que le système admette une telle solution, est que tous les déterminants à n lignes et n colonnes, déduits de la matrice, soient nuls.

En effet, si l'un d'eux n'est pas nul, les valeurs des inconnues sont nécessairement nulles (27, 11); si, au contraire, ils sont lous nuls, on peut trouver un nombre v << /?, tel que lous les déterminants d'ordre v+i soient nuls, tandis que l'un au moins des déterminants d'ordre v est différent de o; il existe donc (27, lll) une solution de l'espèce demandée.

Lorsque «£/w, on peut déduire de la matrice [27, (3)]

l m'A t m » fl •

déterminants d'ordre /? ; leur nombre serait donc celui des équations de condition.

Pour n = nif ce nombre vaut i ; c'est le cas du § 27, prop. IL Ainsi qu'on pouvait le prévoir, on trouve une équation de condition. En général, quoique toutes ces conditions doivent nécessairement être remplies, elles sont surabondantes parce que certaines d'entre elles sont conséquence des autres.

Afin d'obtenir le système des conditions nécessaires et suffisantes, indépendantes entre elles, posons la question d'une façon plus précise.

Etant donné un système de m équations homogènes à n inconnues, sous quelles conditions peut-on choisir arbitraire-

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ment les valeurs de n — v inconnues, de manière que les V inconnues restantes soient déterminées?

En réalité, la réponse à celte question a clé faite au § 27. Il faut que l'un des déterminants d'ordre v soit différent de o et que tous les déterminants d'ordre v + i soient nuls. Il suffit pour cela que certains des déterminants d'ordre v + i soient nuls.

Supposons, par exemple, qu'on veuille choisir arbitrairement les inconnues ^v+h •••) ^« et que leur choix détermine Xi, X2, . . ., Xm\ supposons que le déterminant

al

soit différent de o.

Calculons les inconnues ^Ti , x^, . . ., J'y par la formule (9) du § 27 et formons aussi les sommes (11). En les égalant à zéro, on exprime que le système proposé est satisfait par les valeurs calculées. On obtient ainsi les conditions

al al

a), al

qui s'écrit sous la forme (3)

!Jt>

Ces conditions sont suffisantes. Mais l'équation (2) ou (3) devient une identité, si l'on donne à h ou k l'une des valeurs i, a, . . ., V. On n'obtient donc de véritables équations de condition qu'en donnant à h les valeurs v + i , v -h 2, . . . , m. Il y a donc (/i — v) {m — v) équations de condition.

Ces conditions sont réellement indépendantes; aucune n'est conséquence des autres. En effet, en faisant des hypothèses convenables sur les coefficients a, on peut faire prendre aux premiers