CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS. IO

membres des équations (3), pour chaque combinaison des valeurs de h et A", telle valeur qu'on voudra; on le voit, par exemple, en supposant qu'à l'exception de aj[ toutes les quantités telles que a\ et Am sont nulles.

§ 29. — Équations linéaires non homogènes.

En supposant les équations homogènes par rapport aux inconnues, nous avons considérablement simplifié le problème de la résolution des équations linéaires, et nous avons pu établir des règles très générales. Mais, dans les applications, il arrive fréquemment que les équations ne sont pas homogènes par rapport aux inconnues. Quoiqu'en principe ce cas ne diffère pas du précédent, nous allons pourtant le considérer en particulier. Nous le déduirons de celui des équations homogènes, en attribuant la valeur i à une inconnue déterminée. Si celte inconnue figure parmi celles qui peuvent recevoir des valeurs arbitraires, il n'en résulte aucune difficulté, puisqu'il suffit de lui attribuer la valeur 1. Mais si elle figure parmi celles dont les valeurs sont déterminées à l'aide des valeurs arbitraires attribuées à certaines autres inconnues, il faut eneore satisfaire à certaines conditions, qui expriment, que la valeur i est de celles qu'on peut attribuer à l'inconnue en question.

Nous allons traiter cette question d'une façon indépendante, avec quelques changements dans la notation; pour plus de simplicité, nous nous bornerons au cas le plus important où le nombre des inconnues est égal au nombre des équations.

Soit à résoudre, par rapport aux inconnues .x:<, x^i • • . j Xn^, le système suivant :

a j a?! -h a j arj -h . . . 4- «/i 37,, = ^1 ,

les coefficients aj et les seconds membres ^,,jv'2> • • • > ^'/i sont considérés comme donnés.

no LIVRE I. — LES PRINCIPES.

Désignons par

le déterminant des coefficients des inconnues et, comme d'habitude, par A* les mineurs de A.

A" désignant Tun des nombres 1,2, . . . , /ï, multiplions les deux membres des équations (i) respectivement par A^, Aj[, . . ., A^, et ajoutons : il vient

( 3 ) J-, ^ a\ Ai-h Ti 2 «i Ai- H- ... -h x„ ^ ai, \i = ^7/ Aa-

D'après les formules (2) et (6) du § 23, le coefficient de Xf, est A; les coefficients des autres inconnues sont nuls. On a donc

(0 Aj'^.= 2r/Ai.

Donc : Lorsque A n^est pas nul, le système (1) admet une solution unique^ les valeurs des inconnues étant fournies par

les formules (4)'

En posant

Ai=Aai,

ces valeurs des inconnues peuvent se mettre sous la forme

l'analogie entre les systèmes (1) et (5) saule aux yeux.

Lorsque A est nul, les équations (4) ne nous apprennent plus rien sur les valeurs des inconnues; elles fournissent simplement un système d'équations de condition^ auxquelles devront satisfaire les quantités ^/, pour que le système (i) puisse admettre une solution. Pour trouver un résultat absolument général, nous procéderons comme dans le cas des équations homogènes.