I.n t,v v+l,ii L l,v J

D'après le § 26, le coefficient de x, dans le second membre est un déterminant mineur cle A à v + i lignes et colonnes : il est donc nul. D'autre part, pour que l'équation (i) soit vérifiée, il faut que

2!«A^A soîl égal à^^; par conséquent les formules (7) ne donnent une solution des équations (i) que si Ton a

(10) Bjry,=^B'^.a}yi.

Si X est égal ou inférieur à v, cette condition est toujours vérifiée [§ 25, (2), (6)]. Mais quand on attribue à X les valeurs V -h 1 , V -h 2, . . . , /î, on trouve ainsi n — v équations de condition, indépendantes Tune de l'autre, puisque chacune renferme une quantité^/ non contenue dans les autres. Donc :

Si Vune quelconque de ces conditions pHesi pas remplicy le système est impossible.

Considérons les quantités xi du système (1) non comme des inconnues, mais comme des variables; il en sera de même des quantités j>^/. A ce point de vue, le système (1) définit une substitution linéaire, en ce sens qu'il permet de passer du système des variables j>^ à celui des variables x. Si nous appelons A le déterminant de la substitution, et si ce déterminant est difi^érent de zéro, nous pourrons considérer les y comme des variables indépendantes. S'il en est ainsi, le système (5) permet d'exprimer les variables x à l'aide des variables y\ il définit ce qu'on appelle la substitution inverse.

Résumons, dans un théorème général, tout ce que nous venons de démontrer.

Un système de m formes linéaires ^1 ,^21 •••>JK/n des n variables indépendantes X|, X2, . . . , x,,^ définies par les équations

(11) j'/= a'i J7i -hai^-j 4-. . .-+- a',^«

est dit linéairement indépendant^ si une relation de la forme

ne peut être vérifiée identiquement, que lorsque tous les \ sont nuls. Dans le cas contraire, les formes yi sont linéairement dépendantes. On peut alors énoncer le théorème suivant :

V. Lorsque les fonctions y ^^ y^^ ...^ym sont linéairement indépendantes, on peut attribuer aux variables X|, x^y . . . , x,t