CHAPITRE II. — DÉTERMINANTS

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des tyaleurs telles^ que ces /onctions j^i, j^a? • des valeurs choisies arbitrairement.

> y m acquièrent

Pour démontrer cette proposition, on remarque [§ 27, I et III] que les fonctions yi ne peuvent être linéairement indépendantes que si m£n, et si l'on peut déduire de la matrice des coefficients «^ un déterminant de degré m, différent de zéro.

§ 30. — Multiplication des déterminants.

Étant donnés deux déterminants formés d'un même nombre de lignes et de colonnes, nous allons démontrer qu'on peut représenter leur produit par un déterminant unique, renfermant ce même nombre de lignes et de colonnes. On y parvient le plus simplement en envisageant deux systèmes d^équations linéaires.

Considérons maintenant les coefficients aj^, 6*(A',i = 1,2, ..., /i) comme des variables arbitraires; faisons de même pour^/, j^/, z-i] ces variables sont assujetties à satisfaire aux équations

^i ^i = yk ,

Proposons- nous d'exprimer les variables x en fonction des variables z\ ce problème peut être résolu de deux manières. En premier lieu [§29,(4)], ^^ pe"t résoudre les équations (i) par rapport aux x, les équations (9.) par rapport aux j^, et porter les valeurs de ces dernières dans les formules qui donnent les x. Désignons par A et B les déterminants des deux systèmes d'équations

bi ..

al

bl .

.. bl

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LIVaE I, — LES PRINCIPES.

soient Aj^, B^ leurs mineurs du premier ordre; on trouve

A a:x = 2 Ai-, V, , h

En second lieu, on peut remplacer dans (2) les quantités yi par leurs expressions tirées de (i); si l'on pose

il vient alors

Jl 'V' X / X

Désignons par C le déterminant

par Cf les mineurs du premier ordre de C; la résolution des équations (7) donne

CXA = N ^y^Cj..

La comparaison des équations («>) et (7) donne

et, pour les mineurs,