G = AB

On peut arriver au même résultat par des calculs directs.

Formons le terme principal de C, en nous servant de Téqualion (()); désignons à cet effet par 5|, s-y, . . . , 5« des nombres pouvant prendre indépendamment les uns des autres les valeurs 1,9, ...,/?. On a alors

cl Ci ... c^, = 2 "!' ^î* 2 <' K' . . . ^ <" K"

La permutation des indices inférieurs des lettres c est la même que la permutation des indices inférieurs des lettres a. Si donc on forme le déterminant C en avant égard à la règle des signes, il vient

Si .«j ... *p

(i3) ^±c\c]...c^,= 2 f^Vbï'"K^^±a\'al^...a:r. Mais

Z ± a'- aV . . . rt.V

est toujours nul si deux des indices supérieurs sont égau\ [§ 24, VI]; il suffit donc de considérer dans le second membre

1j6 LIVRK I. — LES PRINCIPES.

de Téquation (i3) les termes dans lesquels 5|, S2j . . ., 5/, formeDl une disposition des nombres i, 2, . . .^ /i; la valeur de ce terme est d'ailleurs + A ou — A, selon que cette disposition est de première ou de seconde classe (§ 21, IV).

Le second membre de (i3) devient alors

éfà s» ••• s

la sommation est étendue à loules les permutations des nombres

Si, S2, . • • Sn- Cette somme n'est autre chose que B ; on a donc

bien