CHAPITRB II. — DÉTERMINANTS. II

facteurs par les éléments correspondants des lignes ou des colonnes de l'autre facteur, et additionner les produits ; ces sommes de produits sont les éléments d'un nouveau déterminant, qui est le produit cherché.

Si les deux déterminants n*ont pas le même nombre de lignes et de colonnes, il suffit de transformer celui qui a le plus petit nombre de lignes en un autre ajant le même nombre de lignes que le premier (§ 25, IX).

On peut généraliser le théorème de la multiplication par un procédé analogue au précédent.

Généralisons la formule (6), en posant

le nombre m des termes du second membre est supposé plus grand que n ; les indices i et h ne doivent prendre que les valeurs de i à /*.

Formons maintenant le produit comme dans la formule (12); formons le déterminant (i3) comme précédemment, avec cetle différence que les indices de sommation s^j S2, . - -, Sm vont maintenant de i k m.

Soit ai, tto, .. ., oLft une combinaison quelconque formée avec n des indices i , 2, . . ., m^ la somme généralisée (i3) contient alors tous les produits de la forme

et n^en contient point d'autres ; le déterminant des quantités c\ est donc égal à la somme de ces produits. D'où le théorème suivant :

Si les éléments du déterminant

ont la forme (i 4) et si m est plus grand que /i, choisissons parmi les indices i, 2, ..., m de toutes les manières possibles n indices différents; ils seront désignés dans un ordre arbitraire, mais déterminé, para.^^ aa, ..., a„. Si l'on pose

ii8 on a

C = SA^Bat,

la somme S étant étendue à toutes les combinaisons positives des a.

Le nombre des termes de b somme est égal au nombre Jes combinaisons sans répétition de m éléments w à /i (§ 7); c'est donc

§ 31. — Déterminants formés avec les mineurs*

Voici une application immédiate de la multiplication des déterminants. Soit le déterminant

soit, en outre,

itx a

a; Al

AJ Aî

le tableau des déterminants mineurs. Considérons ce tableau comme un déterminant, et appelons-le A-, appliquons enfin la loi de multiplication au produit AA. D'après les équations (3) et (7) du § 2o,

on trouve