CHAPITRE 11. — DÉTERMINANTS

que A n'est pas nul. Gomme, d'autre part, l'égalité (3) est une identité par rapport aux éléments af , elle reste vraie, quelque valeur qu'on attribue à ces quantités ; elle est donc encore vraie dans le cas exceptionnel où A est nul ; A est donc aussi nul.

Ce résultat est un cas particulier d'un théorème plus général, relatif à Tun quelconque des déterminants qu'on peut déduire du tableau (2). Considérons le déterminant à v ligues et colonnes

Av-

Aï Aï

on en peut déduire tous les autres déterminants analogues de degré V par permutation des indices inférieurs et supérieurs.

Pour multiplier ce déterminant par A, on commence par le transformer en un déterminant d'ordre /i, diaprés la remarque faite à la fin du paragraphe précédent; il suffît pour cela de l'écrire sous la forme

Ai

AJ

Ai

Av-j-i .

. . Af,

Aï

Ay^i

• fl 9 ■ a •

à Ay on a ajouté n — v lignes et colonnes, les premières ayant toutes pour élément o, sauf le terme diagonal, qui est égal à 1 .

Formons maintenant le produit AAy; il vient

AAyrr

lao LIVRE I. — LES PRINCIPES.

diaprés le théorème IX du § 25, ce produit est égal à

Av