V-Hl

Divisons les deux membres par A, et employons la notation du § 26, on pourra écrire

Av = Av-i A

Dans le cas de v = 2, on trouve

(8) AiAj — AjAj = A.AÎJ.

Nous aurons souvent occasion d'utiliser la formule (8). Si Ton emploie la notation des quotients différentiels, elle se mel sous la forme

A ^'^ dk dS. d\ dk da\da\ da\ da\ àa\ da^

Elle est particulièrement importante dans le cas où A est un déterminant symétrique ; dans ce cas, a^^ = a]^; par conséquent

on a aussi

dK dS^

à condition que, dans la différentiation, on n'ait pas égard à la relation af = aj.; la formule (9) devient alors

dk dk fàky

i)a\da\ Oa\ Oal \da\

§ 32. — Théorème de Sylvester.

Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent se généraliser d'après un théorème de S^'lvester, que nous démontrerons par un procédé dû à Frobenius. Soit

(1) k = 'L±a[a\...al

un déterminant, r un nombre plus petit que /?, et

{1) kr^^±.a\a\...a''.