LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

§ 33. — Lldée de racine. — Racines multiples.

Dans les deux premiers Chapitres, nous avons siirloiit considéré les grandeurs algébriques sous le point de vue formel ; nous nous sommes occupés des transformations identiques d'expressions littérales, dans lesquelles les lettres étaient toutes considérées comme symboles de grandeurs variables. Dans ce qui va suivre, ce sont, au contraire, les grandeurs numériques qui vont être mises en lumière.

Nous appelons nombres, conformément à ce qui a été dit dans rintrbduction, des grandeurs réelles ou imaginaires de la forme a -\-bi; les nombres réels seront représentés par les points d'une droite; les nombres imaginaires par les points d'un j)lan. Nous appelons valeur absolue (ou module) de l'imaginaire a -f- bi la

quantité y/rt^ -+-/>=*, et nous la désignerons, d'après Weierstrass, par I a -h 6/ 1 .

Soit maintenant

(i) f{x)= QqX'^ •+- ciiX'*-^ -f- rtjar'*-» -h. . .4- «/i

une fonction entière de x dont les coefficients sont des nombres quelconques, réels ou imaginaires, le premier a^ étant différent de o. Un nombre a qui, mis à la place de x, fait acquérir la valeur o à la fonction f{x)^ s'ap|)elle une racine de l'équation f{x) =: o; il vérifie donc la condition y(a) = o. Nous dirons, pour abréger, que a est une racine de/(:c).

D'après le § 4, f{x) est alors divisible par x — a, et peut se mettre sous la forme

fi (x) n'étant que du degré n — i, et ayant «o comme coefficient de son terme du degré le plus élevé, de telle sorte que

les coefficients de/{x) ont été calculés au § 4.

Chaque racine de/*! (:r) l'est aussi de/(x), et inversement toute racine de /(x) est ou bien égale à a, ou bien racine de/i{x). Si donc une racine a de /(x) est connue, la recherche des autres est ramenée à la résolution d'une équation de degré n — i .

Notre but est de démontrer que toute fonction de degré /i a au moins une racine; c'est le théorème fondamental de V Algèbre- Tirons d'abord de (a) l'importante conséquence suivante :