CHAPITRE III. — LBS RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l3l

Nous dirons que, dans le premier cas,y(^) passe par zéro en décroissant; dans le second cas, par zéro en croissant; dans le troisième cas, la valeury(Ç) = o est un minimum, dans le quatrième un maximum.

En particulier, si f{\) est différent de o, si donc Ç est une racine simple, le signe + ou — de la dérivée fait connaître si la fonction croît ou décroît lorsque x atteint et dépasse Ç.

 Taide des mêmes propositions, nous démontrerons encore deux autres théorèmes importants.

IX. U équation x" — a = o, dans laquelle a est un nombre positif y admet une racine positive et une seule.

Posons, en effet,

(I) /(ar) rrar" — a;

X croissant indéfiniment par valeurs positives, f{x) est positif (§ 34, VII); pour x = o^f^x) est négatif; donc il y a une valeur

positive pour laquelle /{x) est nul; c'est elle qui représente /a.

Que, d'ailleurs, il n'y ait qu'une seule valeur répondant à cette condition,- cela résulte de ce fait que x'^ croît constamment avec X, tant que x reste positif.

n étant impair et a négatif, l'équation admet une racine négative, et une seule. On le démontre comme précédemment.

X. Une équation de degré impair, à coefficients réels ^ admet au moins une racine réelle.

En effet, f{x) prend des valeurs de signes contraires, selon que X croît indéfiniment par valeurs positives ou par valeurs négatives ;/(;r) = o a donc certainement une racine.

XI. Une équation binôme admet au moins une racine. On appelle équation binôme toute équation de la forme

a étant une quantité complexe quelconque.

On a vu qu'elle admet certainement une racine quand a esl positif; pour a = o, elle admet la racine x =^ o.

La démonstration du théorème général peut être divisée en

j32 LIYRK I. — LES PRINCIPES.

deux parties; il suffit de supposer d'abord n = a, puis n impair •

si nous démontrons, en effet, Texistence de y/a et de ^a ou \'a, quel que soit a, il en résulte l'existence de

par suite, Texistence de y/a, quel que soit n. Il suffirait même de

démontrer l'existence de \/a pour le cas de n premier; mais cette

restriction n'offre aucun avantage pour l'instant.

Désignons la quantité complexe a par 6 -h c/; x pouvant être

complexe, posons

X ^ y -^ zL

Il faut donc montrer que l'équation

(3) {y-^zlY=--b-^ci

peut être vérifiée par des valeurs réelles de y et s, quelles que soient les valeurs réelles de b et de c. L'équation (3) sera satisfaite si l'on a

Il en résulte

et, par suite,

D'après la proposition IX, \Jb^ -j- c^ a une valeur positive et une seule.

De (4) et (5) on tire ensuite

les deux seconds membres sont évidemment positifs. On conclut enfin de là

jh ^ yjb^ -f- c^ ^ /

les signes devant les radicaux devant être choisis de façon que

lyz = c ;