CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l
un seul signe est donc arbitraire*, ces formules donnent, par suite, deux solutions de signes contraires.
Supposons maintenant n impair; Péquation à résoudre est de la forme
(G; (jr ~- iz)» = b ~- ci.
Si c est nul, a est réel, on peut donc poser :; = o, et l'équation admet une racine réelle (IX). Si, au contraire, c est différent de zéro, on conclut de (6)
(7) (y—i^y* =-- b — cl,
(voir l'Introduction).
Multiplions membre à membre les équations (6) et (7), il vient
cette équation admet une racine positive et une seule : donc
celle formule détermine le module de x. Les équations (6) et (7) donnent en outre
?0'> '3)est une fonction homogène et entière des variables j' et z; ses coeflficients sont réels, puisqu'elle ne change pas quand on y change 1 en — /; si nous l'ordonnons par rnpport aux puissances décroissantes de j^, son premier terme est cy"; il est donc différent 'de zéro.
Posons alors
j ^-Iz.
L'équation (9) donne (10) <p(X, 0 = 0.
Celle équation en X, dont le degré est un nombre impair /z, a certainement une racine. A élant déterminé , l'équation (8) donne
l34 LIYRB I. — LES PRINCIPES.
Ces valeurs satisfont aux équations (8) et (9); d^aulre part, on conclut de (g)
b — ic 6 -T- ic *
enfin la formule (8) montre que la valeur commune de ces rapports est ±: I .
Donc les valeurs de^ et de :; satisfont aux équations
{y -^ izY =±(b-^ci)y {y— iz)*^ = ±{b — ci).
On pourra donc choisir le signe du radical dans les formules (11), de telle sorte que les valeurs de ^ et de 2 satisfassent aux équations (6) et (7).
§ 36. — Résolution trigonométrique de l'équation binôme.
La résolution de Téquation binôme se fait d'une façon beaucoup plus complète et plus simple, lorsqu'on suppose connues les fonctions trigonométriques et leurs propriétés élémentaires. Il est certain que ces fonctions sont étrangères à rAlgèbre; aussi est-il bon de traiter les questions de principe sans avoir recours à elles, comme nous l'avons fait précédemment, et comme nous le ferons encore plus tard.
D'autre part, il ne faut pourtant pas se priver de leur emploi, au point de vue des applications et d'une vue d'ensemble plus commode.
6 et c étant des nombres réels, posons
(1) A = /*cosçp, c = rsin©;
en supposant r positif, ces équations déterminent Tangle ^ à un multiple de 217 près. II sera complètement déterminé, si nous fixons un intervalle de grandeur 27: dans lequel il doit être compris, si, par exemple, on pose la condition
Au point de vue géométrique, r et o sont les coordonnées polaires d'un point dont les coordonnées rectangulaires sont b et c.
