CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l

/• est le module de la quantité complexe 6-t-c/; cp s'appelle

Yargument de cette quantité. Le produit de deux quantités

complexes

i a = r(cos<p -f- isincp),

( a'= r(cos<p'-+- ïsinç') s'écrit

(3) aa' = rr'[cos(o -t- ©') H- 1 8in(9 -h <p')].

En supposant que n désigne un nombre entier, positif ou négatif, on déduit de là le théorème de Moivre :

(4) (cos^ H- fc'sin^)'» = cos/i(p h- isin/icp.

Cette formule a donné Tidée de considérer la quantité cosç-hisinç comme une exponentielle à exposant imaginaire

et de poser

cos ç -H t sin ç = e'9.

Les formules (3) et (4) prennent alors la forme

Si donc on pose

(6) a = r(cosç -f- isinç),

et si l'on désigne par \/ r le nombre positif dont la n'^*"® P"'^" sance vaut r, nombre qui existe (§35, IX), on trouve que l'expression

(?) a? = v^r ( cos - -f- tsin i )

a pour 71**"* puissance le nombre a ; c'est, par suite, une racine de l'équation

n étant un nombre entier positif.

La même équation est d'ailleurs vérifiée par chacune des quantités

Xk = V /' ( cos ^ -f- 1 sm ' ) ,

k étant un entier arbitraire. La formule (9) ne donne d'ailleurs

l36 LIVR£ 1. — LES PRINCIPES.

pas plus de n valeurs dififérentes, que Ton obtient en donnant à A* les valeurs

Si, en effet, on augmente k d'un multiple de /i, la formule (9) ne change pas, et Ton retrouve les mêmes valeurs^ au contraire, les valeurs correspondant à (10) sont différentes, puisqu'elles ont des arguments différents.

L équation (8) a donc n racines distinctes.

Les représentations géométriques (ou afGxes) des valeurs Xk

sont situées sur un cercle ayant l'origine pour centre, et \/r

pour rayon ; elles divisent ce cercle en arcs égaux à — ; on obtient

le premier de ces points en divisant l'angle <p en n parties égales.

Le rayon y/r est inférieur ou supérieur à r, selon que /* est inférieur ou supérieur à i.

On peut obtenir les différentes valeurs de Xk en multipliant la première d'entre elles

Xa = i/7* ( cos -3. + t sin J- ) \ n n]

par les différentes valeurs de

, . ik-iz . . 'i.kT,

(11) ^k — COS h t sin .

Les quantités e;^ sont racines de l'équation

ivi) a:« = 1

et s'appellent les racines n'^"«* de l'unité. Ce sont n quantités différentes; n étant impair, une seule d^enlre elles est réelle pour

/r = o ; n étant pair, deux sont réelles pour A" = o et A' = -•

Les affixes des racines n'^"®* de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier de n côtés, inscrit dans un cercle de rayon 1 . Leur détermination algébrique revient donc à la division du cercle en parties égales.

Désignons par e la valeur de e^ pour A' = i,

air . . air

e = cos h t sin — :