CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS AI.GÉRRIQUES
le théorème de Moivre inonlre que
donc toutes les racines /?.**"^* de l'unité sont des puissances de Tune d'entre elles.
§ 37. — Disparition du second terme d'une équation.
L^existence des racines des équations binômes va nous permettre de démontrer Texistence des racines des équations des deuxième, troisième, quatrième degré, en ramenant la détermination de ces racines à celles de certaines équations binômes. Nous reviendrons plus tard sur cette question à un point'de vue plus général. Disons quelques mots des anciennes méthodes de résolution; elles sont très simples, mais ne permettent guère de se rendre compte de la connexion de ces questions au point de vue général. Il semble que la méthode puisse s'appliquer par généralisation aux équations de degré supérieur; ce n'est pas le cas.
D'abord une remarque générale. Dans toute fonction /(j) de degré n, il suffit de diviser tous les coefficients par celui de x", pour mettre cette fonction sous la forme
La substitution
transforme la fonction f(x) en une autre fonction cp(y) qui n'a plus de terme de degré n — i. En effet, la formule du binôme donne
/î — I ^n-i =zyn-t Oiyf^-^ -f-. . . ,
l38 LITRE I. — LES PRINCIPES.
et, par suite,
f{x) = yn ^ (a^^a* îLzi^^«-t ^. . . .
Effectuons la transformation dans les cas de /?= 2, 3, i] il vient alors
1/1 = a, o(y)=y^-ha,
Dans ces différents cas, on a posé :
Pour Al = 2, « a = - — ^ -4- aj ;
Pour n = 3,
a? , 2a? ai «•
Pour n = 4,
La résolution de l'équation /(oc) = o est alors ramenée à celle decp(j^) = o.
Prenons le cas de n = 2. L'équation ^*- 4- a = o donne
et, par suite,
2 V 4 îA
Elle admet donc deux racines
— ai H-V^aJ —4 a» (5)
/ ft - —^i — V^^t— 4^8 ^
I CHAPITRE III. — LES RACINES DES tiQUATIONS ALGÉBRIQUES. iSq
§ 38. — Équation du troisième degré. — Formule de Cardan.
Prenons l'équation du troisième degré sous la forme réduite (i) y^-¥-ay-\-b = o.
Introduisons deux nouvelles inconnues en posant
(2) j=WH-p.
L'équation (1) devient alors
Assujettissons u el s? k vérifier la relation
(4) . 3ac = — a;
l'équation (3) devient alors
A l'aide de (4) et (5), on peut déterminer lû et p' par une simple extraction de racines carrées. En effet, on a
(6) (^3— i;»)ï =(a«i-(,8)j 4j^8ç,3^ ^«^ if!.
Posons, pour abréger,
on Irouve
W' — «;3 — Si y/R,
Donnons au radical un signe déterminé; l'équation précédente, jointe à (5), donne
jL r
et, par suite,
donc
l4o LITRE I. — LES PRINCIPES.
En multipliant membre à membre les deux équations (8), il
vient
cette formule montre que, si nous prenons pour u une des racines cubiques, la valeur correspondante de r
(lO) l' =
est certainement l'une des trois valeurs de i/ y/'R. De plus,
l'équation (4) montre qii'ilfaut prendre pour ^' cette valeur, si l'on veut q\iey = ii 4- v satisfasse à l'équation (jl). Aux trois valeurs de u correspondent donc trois racines de l'équation (i). Gomme on a montré précédemment qu'une équation du second degré a deux racines, l'existence d'une seule racine de l'équation du troisième degré entraine l'existence des trois racines. Pour déduire de la racine (9) les deux autres, posons
et divisons j^'+ ay -{- 6par^ — a. Le quotient
jr^ -h a >' -4- a* -f- <7
admettra les deux autres racines ^ et y de Téquatiou du troisième degré. La formule (4) du paragraphe précédent donne
Si l'on y fait a =: w -H c, et « = — 3 £/r, il vient
y = Posons
il en résulte
