CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l4l

Les trois racines de l'équation du troisième degré ont alors

pour expressions

Ia = w -H f, 6 = 6 M -4- e* (^,

Dans ces formules, e est une racine cubique de l'unité, différente de I ; elle est exprimée algébriquement, sans l'aide des fonctions trigonométriques. Si au lieu de u on prend sa ou t^u, et si, par suite, l'on remplace v pare^(^ ou e(^, les trois quantités a, p, V se permutent entre elles.

La formule (9), qui donné la valeur d'une racine de l'équation du troisième degré, s'appelle \di formule de Cardan.

§ 39. — Forme doimée par Cayley à la formule de Cardan.

Ainsi que nous l'avons vu, chaque racine cubique a trois valeurs différentes, que l'on déduit de l'une d'entre elles en la multipliant par I, s, e^. Chacune des quantités u et p, définies par l'équation (8) du § 38, a donc trois valeurs distinctes; donc la somme u-k- v peut prendre neuf valeurs différentes. Trois de ces valeurs seulement sont racines de l'équation du troisième degré; il faut se servir de la relation

(\) 'iuv — — a,

pour distinguer les valeurs convenables.

C'est là un défaut de la formule de Cardan; elle est insuffisante par elle-même, pour donner sans ambiguïté les racines de l'équation du troisième degré. Cayley y a remédié de la manière suivante.

Définissons deux nouvelles quantités \ et r^ par les équations on en conclut, en se servant de (1),

l4a LIYRB I. — LBS PRINCIPES.

Portons cette valeur dans (2); remplaçons u et v par leurs valeurs [§ 38, (8)], on trouve :

la racine^ de l'équation du troisième degré se met alors sous la forme

c'est là une expression qui ne prend que trois valeurs distinctes, lorsqu'on y remplace Ç et tj d'une façon tout à fait arbitraire, par eÇ, e^Ç, ou erj et s* ri; ces trois valeurs sont

(6) e {«Tj-ÊÎ^V,

(Gaylet, Phil, Mag,, vol. XXI, 1861. — Collected mathematical Papers, vol. V, n" 310).

Si en outre on change le signe de la racine carrée qui figure dans (4), $ et 7) s'échangent; les trois racines (6) se permutent entre elles.

§ 40. — L'équation du quatrième degré.

L'équation du quatrième degré (i) y'^-^ ay^-\- by ->r c = 0

peut se résoudre par une méthode analogue à celle employée

pour l'équation du troisième degré.

Posons

iy ^ u-\- V -\- M»,

et, pour abréger,