CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l

Portant ces valeurs dans l'équation (i), on en conclut

s'-f- 4'-f- ^as -+■ i&c -hS{uvw 4- ^)(m -h P -f- tv)

-♦- 4(* -+■ 2a){çw -H wu -4- iiv) = o.

Cette équation sera vérifiée si l'on détermine ii, p, w de telle manière que

En tenant compte des trois premières équations, la quatrième

s'écrit

Remplaçant ensuite s et t par les valeurs (a), il vient finalement

pî «.î | t^ï i^î { i^t (.2 — a^ — ^c^

uvw = — b.

Il en résulte (§7) que w-, p^, ^p^ sont les racines de l'équation du troisième degré

les signes de «/, v^ w devront être déterminés de telle sorte que la dernière des équations (3) soit satisfaite. Cette dernière condition permet quatre combinaisons de signe différentes; on trouve alors, pour les quatre racines de l'équation du quatrième degré, les expressions

hC -4-

La résolution de l'équation du quatrième degré est donc ramenée à celle d'une équation du troisième degré, qui est dite la résolvante de la première.

§ li. —Démonstration du théorème fondamental.

Arrivons maintenant à la démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre : toute équation f{x) = o a au moins une racine. Voici d'abord quelques propositions générales.

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