I. Soit S un système de nombres réels quelconques, tous

plus grands qu'un nombre déterminé C, positif ou négatif

(c^cst'à'dire un système qui ne contient pas de nombres infinis

négatifs) ; les nombres appartenant au système S admettent

une limite inférieure.

Nous enlendons par limite inférieure un nombre g ijii qu'aucun nombre du système ne lui soit inférieur, et qu'entre o^ et ^+S (en y comprenant les limites) il y a au moins un nombre du système S, quelque petit que soit le nombre positif o.

ConsI misons, en effet, une coupure (JU, ilS)) de la manière suivante : Un nombre a appartient à «l> si aucun nombre du système S ne lui est inférieur; un nombre ^ appartient à \lb, s'il existe au moins un nombre du système S inférieur à lui. Le nombre g défini par cette coupure est inférieur à un nombre quelconque du système S. Si, en effet, il n'en était pas ainsi, il existerait des nombres inférieurs à g, par suite appartenant à cl», et tels néanmoins que certains nombres de S leur seraient inférieurs, ce qui est impossible. D'autre part, tout nombre ^ supérieur à g appartient à ilb, et, par conséquent, est tel, qu'il existe des nombres S qui lui soient inférieurs. Le nombre g possède donc bien les propriétés de la limite inférieure.

IL S' étant une partie de S, les nombres du système S' ont aussi une limite inférieure g' égale ou supérieure à g.

g' ne peut être inférieure à g, sans quoi S', et par suite S, renfermerait des nombres plus petits que g.

Soit maintenant /(x) une fonction réelle de or, finie et continue dans l'intervalle (a, b). Cela signifie que, pour toute valeur x de l'intervalle (i) (a, 6), la valeur absolue de la différence

C^) f(x:^h)—fix)

est inférieure à un nombre positif arbitraire ti, lorsque h est inférieur à un certain nombre £. Pour j? == a, h sera affecté du signe -r ; pour x = b^ àxx signe — , afin que les valeurs de la variable soient toujours comprises dans l'intervalle (a, b).

Les valeurs de/(:r) ont, dans Tintervalle considéré, une limite inférieure ^(théorème I); de plus :