CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l

III. La fonction f[x) prend la valeur g pour une certaine valeur $ de l'intervalle; f Ci) est donc le minimum de la fonction dans cet intervalle.

D'après II, la limite inférieure des valeurs de la fonclioD, dans tout intervalle compris dans l'intervalle (i), est supérieure ou égale à g,

S\f{a) = gy le théorème est démontré. Si /(a) >► g^ on peut trouver, en vertu de la continuité de la fonction /(jr), un intervalle (a, a -h A), dans lequel f{x) reste toujours supérieur à g^ et dans lequel, par conséquent, la limite inférieure de f{x) est plus grande que g.

Construisons alors une coupure («A,, ill») de l'intervalle (i) de la manière suivante : Un nombre a de l'intervalle (i) appartient à c^, si dans l'intervalle («, a) la limite inférieure def(x) est supérieure à g. Un nombre ^ appartient à i)b, si dans l'intervalle (a, P) la limite inférieure def(x) est égale à g.

Il pourrait arriver que ilb se réduise au seul nombre b. Je dis que, dans ce cas, f{b) = g^de sorte que notre théorème sera démontré pour x^= b. En effet, si f{b) > g^ soit g' un nombre compris entre /( 6) et g. Puisque /(j;) est une fonction continue, on peut trouver un intervalle (b — A, 6) tel que, dans cet intervalle, les valeurs de la fonction soient plus grandes que ^; sa limite inférieure sera donc supérieure ou égale à g^', et certainement plus grande que g. D'autre part, b — h appartient par hypothèse à JU. Donc, dans l'intervalle (a, b — h), la limite inféférieure de f{x) est aussi plus grande que g. Il en serait donc de même dans tout l'intervalle (a, 6), ce qui est contraire à l'hypothèse.

Si donc f(b)'!>g, l'ensemble ilb ne se réduit pas au seul nombre 6, et la coupure (Jl>,i)l>) définit un certain nombre ^, compris entre a et b; nous allons montrer que

(3) fa) = g-

En effet, si/(Ç) > gj sôit g' un nombre tel que

f{x) étant une fonction continue, on peut trouver un in-

l46 LIVRE r — LES PRINCIPES.

tervalle (ç — A, $ + A), dans lequel toutes les valeurs de f{x) sont plus grandes que g' \ dans lequel, par conséquent, la limite inférieure de/(x) est certainement plus grande que^. Comme Ç — A appartient kX, il en est de même de l'intervalle (a, Ç — A) ; donc, dans tout l'intervalle (a, Ç -j- A) la limite inférieure de /(a?) serait plus grande que g, ce qui est impossible, puisque Ç 4- A appartient à X. Donc

Soit maintenant y(a:) une fonction rationnelle et entière, à coefficients quelconques, réels ou imaginaires, la variable x pouvant elle-même prendre des valeurs complexes.

G étant un nombre positif arbitraire, on peul trouver (§ 34, IV) une grandeur positive R, telle que la condition

soit remplie, sitôt que l'on a

Cette inégalité | a: | > R signifie qiie Taffîxe du point x =y -+- iz se trouve à l'extérieur d'un cercle de rayon R, décrit de l'origine comme centre; nous désignerons ce domaine par (R).

Supposons C plus grand qu'une valeur quelconque dey*(^) à l'intérieur de (R), par exemple plus grand que/(o); puisque pour X = R'" on a \f{x) | > C, il en résulte que, pour certaines valeurs inférieures à (R), la valeur absolue de/(x) est inférieure ■à la valeur absolue qu'elle acquiert, quand x est sur la courbe limite. Comme, d'autre part, la valeur absolue de /(a:), que nous désignerons par X, ne devi.ent jamais négative, cette quantité X admet dans le domaine (R) une limite inférieure g. Nous allons montrer que :

IV. // existe à r intérieur du domaine (R) un nombre (Ç), tel que

•(6) Ai) = g,

de telle sorte que la limite inférieure est le minimum de Xa fonction.