CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l(\'J

La limite inférieure de X dans une partie quelconque du domaine ne peut être que supérieure ou égale à g. Un domaine défini par les inégalités

est représenté dans noire Jig. 2 par le segment PQaQ', que nous appellerons le segment (P,a); déterminons d'abord une valeur tj

de ^ à l'aide d'une coupure (A, B), construite par le procédé suivant.

Un nombre a, compris entre — R et 4- R, appartient à A, si la limite inférieure de X dans le domaine (1?, a) est supérieure kg] un nombre ^ appartient au contraire à B si, dans le domaine (P, p), cette limite est égale à g^. Cette coupure (A, B) définit un nombre r^, possédant cette propriété, que la limite inférieure deX, dans le domaine (P, y), est supérieure à ^ ou égale à g^ selon que^ est inférieur ou supérieur 'à r^,

D'autre part, on a vu (§ 34, VJ) que [/(tj + iz) [ est une fonction conUnue de z dans l'intervalle

/R* — V^;5<v/R* — iî«;

l'affixe r^ -i- iz se trouve alors sur la droite MM' de \sijîg. 2.

Il existe donc une valeur ^de z comprise dans cet intervalle, qui fait acquérir à cette fonction une valeur minimum y, telle que, pour Ç = Ti 4- ïÇ, on ait

l/(OI = T-

l48 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

On voit aisément que y = g. En effet, y ne peut être inférieur à g^ puisque g est la limite inférieure des valeurs de X dans le domaine (R).

Y ne peut non plus être supérieur à g. En effet, toutes les valeurs prises par X, quand la variable décrit la corde MM', sont supérieures ou égales à y. Si y était plus grand que^, on pourrait prendre un nombre ^ compris entre y et g. Puisque X est une fonction continue, on pourrait déterminer un intervalle (a, P) comprenant le nombre 7^, et tel que dans le domaine (P, P) — (P, a) = (a, P), X reste supérieur ou égal à ^ , Donc, la limite inférieure dans le domaine (a, ^) serait supérieure kg. Or, elle l'est par hypothèse dans le domaine (P, a); elle le serait donc aussi dans le domaine (P, p), composé de (P, a) et de (a, p); ce qui est impossible, puisque ^ appartient à B.

Donc y = ^; il existe dans le domaine (R) un point Ç, tel que |y(Ç)| = ^; à ce point correspond donc la valeur minimum de \f{x) \.

V. a étant une valeur de f{x) telle que /(a) soit différent de zéro, on peut déterminer h de telle manière que

(lo) l/(»-^/Ol<l/(«)l.

Cette proposition étant démontrée, il en résulte immédiatement que, si /(Ç) n'est pas nul, g ne peut être le minimum de la fonction \f{^x) I ; comme nous venons d'autre part de démontrer ce fait, il en résulte

ce qui prouve que \ est racine de l'équation /(j:) = o et démontre, par suite, le théorème fondamental.

Pour démontrer le théorème V, nous ferons usage de celte proposition (§ 35), qu'une équation binôme a toujours une racine.

Suppbsons que /'(a), /*"(«), ••• soient nulles; la dérivée

d'ordre n, qui vaut

/'«(a)=n(/i)ao,

est toujours différente de zéro. Soit donc/^(:r) la première dérivée qui ne s'annule pas pour a: = a. On aura (§ 13)

(..,) /(a^-/.)=/(a)-Hj^^/«(a)^-jj^i;^/.-..(a)^....