CHAPITRE L

FONCTIONS RATIONNELLES

§ 1. — Fonctions entières.

Nous considérerons d'abord les {onctions /rationnelles entières ou, pour abréger, les /onctions entières d'une variable. Nous appellerons ainsi les expressions de la forme

n est un exposant entier, le degré de la fonction /(^). C'est un nombre de la suite naturelle. Il est parfois utile de parler de fonctions rationnelles de degré zéro; on entend par là une constante. X s'appelle la variable; a©, a», ..», On les coefficients. Aussi bien x que ^q, ai, ..., an sont des symboles de grandeurs non déterminées, sur lesquelles on opère selon les règles du calcul algébrique, et qu'on peut remplacer à l'occasion par des valeurs déterminées.

La fonction f{x)y écrite sous la forme (i), est dite ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de la variable x. On peut écrire les termes dans tel ordre qu'on veut, ordonner par

exemple le polynôme par rapport aux puissances croissantes de x^ sous la forme

La somme, la différence, le produit de plusieurs fonctions entières est encore une fonction entière. La formation de ces nouvelles fonctions se fait selon les règles du calcul algébrique.

Dans Taddition de deux fonctions entières, le coefficient de x^ est égal à la somme des coefficients de^^ dans les deux fonctions. La fonction obtenue est de même degré que celle des deux fonctions qui a le degré le plus élevé; il ne peut s'abaisser que dans le cas particulier où les deux fonctions sont du même degré et où la somme des coefficients des termes de degré le plus élevé est nul.

Le produit de deux ou plusieurs fonctions rationnelles et entières est une autre fonction de même espèce dont le degré est égal à la somme des degrés des facteurs.

Afin de nous rendre compte de la loi de formation des coefficients du produit, posons

(i) A(a7) = aoa7"»H-aia7"»-t -4-aja?'«-» -<-...,

(3) k{x)^{x) = Coar'«-^-'*-hCia7"»-*-'»~»4-c,^"«-»-«-2 ,

Il vient alors

Cq = ao^o»

Cl = af^bx -f- «1^0,

Cj = «0 6î 4- «1 bi -H aj 6o,

et, en général, en désignant par v un des nombres o, i, 2,

( 4 ) Cv = «0 ^v ^- «1 ^v-i H- ... -4- ay-i 61 -h «v ^Oî

formule dans laquelle il faudra supposer nuls tous les coefficients ai dont rindice est supérieur à m, et de même tous les coefficients bp dont rindice est supérieur à n. En effet, c, est le coefficient de :r'"-^«"^; on obtient le terme Cv^'«-^«~^ en multipliant tous les