CHAPITRE 111. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. I^Q

D'après la proposition V du § 34, on peut toujours choisir s de telle sorte que

h /i«-Hi)(a)

m-hi /^'«^a) (m-M)(/n^-2) /('«^(a)

sous la condition

Soit, d'autre part, o une fraction positive, telle que

on pourra toujours trouver 8, si /(a) n'est pas nul. Si donc on détermine h par l'équation

h*nf{m)(o,)

on aura, d'après (i5),

Remplaçant h dans l'équation (12) par sa valeur tirée de (16), il vient

/(at-+-A) = (,-a)/(a)

'"(a) ' (m-i-i)(/7H-2) /'"(«) et, par suite,

(«7) l/U-t-A)|^l/(a)|(i-a)4-3|/(a)| En vertu de (i3), on conclut de là

Le théorème fondamental est donc démontré.

l5o LITRE I. — LES PRINCIPES.

§ 42. — Algorithme pour le calcul des racines.

La démonstralion, donnée au paragraphe précédent, ne laisse rien à désirer au point de vue de la rigueur; pourtant elle ne permet pas de reconnaître par quel procédé on peut arriver à calculer efTectivement la racine, dont on a démontré Texistence. Nous ajouterons donc les considérations suivantes, destinées à remédier à ce défaut, quoique simplement au point de vue théorique. Elles fourniront, en réalité, une seconde démonstration du théorème fondamental et sont dues principalement à Lipschitz {Lehrbuch der Analysis, vol. I, p. 66^ quelques simplifications m'ont été indiquées par MM. Dedekind et Frobenius).

Lorsque les deux fonctions rationnelles et entières f{x) et f'{x) ont un diviseur commun, on sait le trouver par des opérations rationnelles (§ 6) et, par suite, on peut en débarrasser la fonction. Nous pouvons donc supposer que /(:r) et /'(x) n'ont pas de diviseur commun et, par suite, ne s'annulent simultanément pour aucune valeur de x.

Supposons qu'on sache effectuer le calcul de la racine pour une fonction du degré n — i, et que, par suite, on sache décomposer f{x) en facteurs linéaires. Soit donc

(i) /(a:).= -r^-hata?'*-* -+-aia7"-«-4- . . .,

(2) /'(^) ~ nx^-^-\'{n — i)aia7»-*-i- (n — 'jL)aiX^-^ -4-

= /i(x— p,) (ar— Pj)...(a:— ?/,-i);

les nombres ^\, ^^ • • m ^/i-i ^^^^ supposés connus, et ne sont pas nécessairement distincts. Par hypothèse, les modules des quantités

(3) * /(Pi), /(PO, ..., /(P/.-t), que nous désignerons par

(4) ^i, ai, ..., bn-if

sont tous différents de zéro; nous supposerons que 6| est inférieur ou au plus égal aux autres.

D'après la proposition V du § 41 , on peut déterminer une

CHÂPITBB III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l5l

valeur a telle que le module a de /(a) soit plus petit que b\ ; on aura donc

(5) a < 6iS6jl63 .. . 16„i.

Limitons maintenant un domaine G de la variable x^ de telle sorte qu'en tout point extérieur à ce domaine le module de f(x) soit plus çrand que a; G contient donc tous les points or, pour lesquels le module est plus petit que a, et contient en outre d'autres points. On y parvient (§ 34, IV) en décrivant de l'origine comme centre un cercle (R), de rayon R suffisamment grand, renfermant à son intérieur les points a, ^i, ^2, . . ., ^//.i, et en entourant d'un petit cercle de rayon aussi petit que l'on veut, mais différent de zéro, les points ^1, ^2, . . ., ^n-ty pour lesquels le module de /{x) est supérieur à a; les rayons pi, p2, . . ., pn-t de ces cercles sont choisis de telle manière qu'à l'intérieur de ces cercles le module de /{x) reste supérieur à a. Il en résulte qu'aucun de ces cercles ne renferme le point a pour lequel le module de /{x) est égal à a, La partie du plan limitée par le cercle (R) et les cercles (?0> (pa)ï • • • î (?«-*) ^^^ '^ domaine G.

Fig. 3.

Construisons maintenant une suite de nombres

tels que les modules correspondants de/(x)

aillent toujours en décroissant. Les affixes de ces nombres sont

// l intérieur du domaine G, puisque tous les modules correspondants sont plus petits que a.

Nous emploierons à cet effet un procédé analogue à celui du §41 (V), avec cette simplification que la première dérivée/'(a) est différente de zéro. Écrivons le développement

appelons S une fraction positive proprement dite; posons

•il vient alors

\f{o^\ri^) op(oL)r(oi)

Mais^ d'après (2), on a

désignons par /'i, /'2, ...,/'/i i les modules des différences (a — ^1), (a— P2), ..., (cL — ^n-i); il vient

|/'(3t)| = «/'ir, ...r,i-i.

Le point a étant extérieur au cercle p^ de rayon ^4, on aura

par suite,

''i>Pi, ''î>Pi) ...»

|/'(a)l >np,pî...p„i;

le module de /'(a) est donc supérieur à un certain nombre Xr, indépendant de la position de a dans le domaine G.

Il en résulte qu'on peut trouver un nombre positif Q, indépendant à la fois de la position du point a et de la fraction 8, lel que Ton ait

et