CHAPITRE lil. — LB9 RACINES DBS ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l

Pour obtenir Q, on remplace dans le premier membre de (9) /'(*)? au numéraleur par k, 8 par i, tous les autres termes^ par leur module, a par son maximum R; si besoin est, on remplacera le nombre ainsi obtenu par un autre qui lui est supérieur et qui soit plus grand que 1. Il résulte alors de (8) que si

(10) a-+-A = a,, |/(a)|=a, |/(ai)| = a,,

on a

«i < a M — OH Q y

Remplaçons dans cette inégalité et dans Téquation ( 7) le nombre 0 par^, ce qui est permis; il vient

(la)

Par le même procédé, nous déduirons de a^ , ai un second système de grandeurs a.2, 02; de a^, ^2 un troisième a^, «3, etc. Nous trouverons pour la suite des nombres positifs décroissants a, a^ a2, a^^ . . . les inéquations

(i3) ai<a0, aj<ai6, ..., av<av-i®>

formules dans lesquelles la quantité

est une fraction proprement dite. De ces inéquations (i3), on conclut, en les multipliant membre à membre,

av<aev, donc

(i4) limav = o.

Il résulte, d'autre part, des équations (i i) et (12)

'*"-"»'<QÎt< k '

l54 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

d'où, pour un indice quelconque v,

2(av --^v-4-i)

I ttv — av+1 I <

Le module d'une somme est inférieur à la somme des modules des termes; soit [x un indice inférieur à v, on aura, d'après (i5),

«|j. — *v I < I «ij. — «in-i i

On en conclut

donc, d'après (i4)>

liin(a|i— av) = o,

lorsque [x et v augmentent indéfiniment.

Si l'on se reporte à ce qui a été dit dans l'Introduction sur les suites de nombres (p. i8), cette condition exprime que les nombres a, 0^19 012, ... s'approchent d'une certaine limite que nous désignerons par ^.

Comme la fonction /(a?) est continue, il en résulte

En effet, si /(Ç) pouvait être positif, on pourrait prendre le nombre ay assez voisin de Ç, pour que le nombre |/(av)| = a^, fût supérieur à un nombre positif donné, ce qui est impossible, puisque

§ 43. — Valeurs numériques des fonctions entières.

Du théorème fondamental sur l'existence des racines découlent quelques théorèmes sur les valeurs numériques des fonctions entières; malgré leur simplicité, il est nécessaire d'j porter une attention particulière.