CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l
des fonctions entières des variables x,y^ Zj , .. , à coefficients numériques, qui ne peuvent être simultanément nuls dans aucune des fonctions; il existe une infinité de systèmes de valeurs des variables telles qu'aucune des fonctions <ï>«, <ï>2, ^3, ... ne soit nulle.
Ce théorème est évident, lorsque les fonctions <Ï>|, <ï>2, ^zy • • • ne dépendent que d'une seule variable, car il n'existe qu'un nombre fini de valeurs de la variable qui annulent une de ces fonctions.
En supposant le théorème démontré pour le cas de n variables, il est aisé de montrer qu'il est encore vrai pour le cas de /i H- i variables; ordonnons, en effet, la fonction par rapport à la (n -\- i)»*"« variable t; par hypothèse, il existe des systèmes de valeurs des n autres variables, telles que, dans aucune des fonctions, les coefficients des puissances de t soient nuls simultanément; nous n'avons alors plus que des fonctions d'une seule variable, et Ton peut y remplacer t par un nombre tel qu'aucune des fonctions ne soit nulle. Le théorème est donc démontré; on voit qu'il est encore exact, lorsqu'on fixe des limites supérieures arbitraires pour les valeurs attribuées aux variables, ou lorsqu'on demande que les nombres à substituer aux variables soient rationnels.
II. Si les fonctions ^i , <ï>2, ^3^ . . . sont premières entre elles deux à deux (§ 20), on peut substituer aux variables des nombres tels qu'une de ces fonctions {supposée non constante) soit nulle, tandis que les autres sont différentes de zéro.
Soit t une variable figurant effectivement dans la fonction <l>i. Pour chacune des fonctions ^, on sait déterminer, par l'algorithme du plus grand commun diviseur, des fonctions entières 6/, 5^/, X/, telles que l'on ait (§ 20)
X<- dépendant des variables x^y^ . . . , mais non de la variable t. Substituons aux variables x^ y^ ... des valeurs telles que toutes les fonctions X/ soient différentes de zéro, que ^^ ne soit pas indépendant de ^, mais devienne une certaine fonction /(i). Rem-
l56 LIVRE 1. — LES PRINCIPES.
plaçons t par une racine de l'équation f(t) = o. La fonction ^, est nulle, mais, d'après l'équation (i), aucune des fonctions $| ne peut être nulle. C'est précisément ce qu'exige le théorème II.
§ 44. — Continuité des racines.
Terminons ce Chapitre par la démonstration du théorème suivant :
Théorème. — Les racines d'une équation algébrique sont des fonctions continues des coefficients.
Expliquons d'abord la signification de ce théorème. Soit
(i) /(or) = j-«-haia?»-» H-aia7«-« -h. . .,
une fonction rationnelle et entière du degré n. D'après les paragraphes précédents, cette fonction peut être mise sous forme d'un produit de n facteurs linéaires, dont plusieurs peuvent être égaux. Désignons par a, p, y, ... les diflTérentes racines, réunissons en un seul les facteurs égaux; on pourra écrire /"(a:) sous la forme
Hy 6, c sont des nombres entiers positifs dont la somme est égale à n.
Les valeurs des racines a, p, y» • • • changeront avec les coefficients ai, a*, ...« a„; le ur^ degré de multiplicité peut varier. Désignons par Si, £29 ••• les variations des coefficients. Posons
(3) o{x) = E,x»-»-heia?'*-« -•-...,
Entourons les points a, ^, y, ... de domaines aussi petits que Ton voudra, de telle sorte que ces domaines n'aient pas de partie commune, par exemple, de cercles dé rajons p, p', p"..., que nous désignerons par (p), (p), (p"), . . .
En supposant que les modules des quantités Sn £2? -•• restent
CUÂPITRB III. — LES RACIXeS DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 167
inférieurs à des nombres suffisamment petits, nous allons démontrer :
1® Que la fonction f\{jc) n'a pas de racines en dehors des domaines (p),{p'),(p'), ...;
2** Que le nombre des racines de f\{x) à ^intérieur de (p) vaut exactement a, à l'intérieur de (p') exactement 6, etc,
Pour la dernière partie du théorème, on devra compter chaque racine multiple avec son degré de multiplicité.
Construisons (§34, IV), dans le plan de la variable a:, un cercle de rayon R ayant l'origine comme centre, renfermant les domaines (p), (p'), (p")> •'•> d^ ^^1'® sorte que la fonction f{x) n'ait pas de racines en dehors de ce cercle. Désignons par G la
Fig. 4.
partie de ce cercle comprise entre la circonférence R et les domaines (p), (p'), (p*'), . . •. Remarquons qu'on peut supposer R indépendant de £|, Co, . • •, lorsque ces quantités sont assujetties à rester inférieures à un nombre donné.
X étant un point du domaine G, le module de x est supérieur à p; donc, d'après (2),
soit a^ une racine de/i {x) ; l'équation (4) montre que
/(a,)=-o(ai);
donc ai ne sera pas à l'intérieur de G, si l'on s'arrange pour
l58 LIVRE I. — LES PRINCIPES.
quel que soil le point a; du domaine G ; il suffit pour cela d'abaisser suffisamment la limite supérieure des quantités e.
Nous avons ainsi démontré la première partie de notre proposition, savoir que, si la condition (7) est remplie, aucune racine de/i (x) n'est en dehors des domaines (p), (p'), (p")» etc.
Pour démontrer la seconde partie, posons
(9) ^(x)={x-^)f>ix^^y....
Soit maintenant  un nombre positif, indépendant de p, tel que la condition
entraine la condition
Ce nombre A sera, par exemple, l^<^"'^ en désignant par / la moitié de la plus petite des distances (a, ^), (a, y), . . .; la condition (ïo) est alors remplie, tant que p est inférieur à /. S'il n'existe qu'un seul point a, on devra poser <j>(a:)= i, et l'on pourra prendre pour A telle fraction proprement dite que l'on voudra.
Soient donc a^ a2, ... les racines de/^ (x) situées à l'intérieur de (p ), «H «2? • • • leurs degrés de multiplicité ; soient po ^2» • • • , 6i, 62 j • • M Tn Y2î . . ., C|, C2, . . . les mêmes nombres relatifs aux domaines (p'), (p''), ... ; xîomme le nombre total des racines est/i, on aura
(11) /l = ûfj -haj -t-. . .-h 6i-i- 6jH-. . .-+- CiH- Cj-r-. . . .
La fonction /< (x) peut donc se mettre sous la forme
(12) /i(a?) = ^^iCarXCar — aO^.C^ — «,)«....,
en posant
(i3) ^'i(^) = (^-Pi)^(^-pi)*»...
Déterminons maintenant un nombre positif B, indépendant de p, p', p'', . . . , tel que la condition
\sr — a\%p
