CHAPITRE III. — LES RACINES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. l6g

entraîne la suivante

Nous pourrons, par exemple, appeler L une longueur plus grande que le double de la distance du point a à l'un des points P, y, . . ., et, en outre, plus grande que i ; il suffira alors de prendre

L'équation (4) donne

et, en tenant compte de (8) et de (i^a),

(i6) I ^x) 1 1 ar - a la < I i^,(ar ) I . I 07 ~ a, |«i I a: - a, I «,. . . + I ç(a7) I .

Si nous prenons le points sur la périphérie du domaine p, si donc

nous supposons

1^ — a| = P, on aura

|ar— a,I<2p, |ar — a,|<2f,. ...

et, par suite, d'après (lo) et (i6),

(ly) p« A < (2p)««-^«a+... B -f- 1 (p(a:) |.

Choisissons maintenant les limites supérieures des coefficienls £i, £2, ... de cp(^), assez petites pour que

|(p(T)|<p«AS A' désignant un nombre plus petit que A; il résulte alors de (in)

{18) A — A'< 2«t-»-aj-«-—p-ûH-«i+aj-»-...B.

Si a était plus grand que la somme a^ + aj -+-. . . , cette condition ne pourrait plus subsister pour une valeur sufGsamment petite de p. On a donc

■(19) a^ai-+-ai-i-

De même on démontrerait que

<20) { cgC| -l-Ct-4- —

l60 LIVRE I. — LES PRINCIPES.

comme, d'autre part, la somme des premiers membres vaut /i, aussi bien que la somme des seconds, les signes d'égalité subsistent seuls, ce qui donne

a = Oj -h CTj -+- . . , b = bi-h bi-h. . .,

C = Cl -î- Cj -+-. . ,

et par là se trouve démontrée la seconde partie de notre proposition.

Ajoutons à ce qui précède la remarque suivante, relative aux cas des racines multiples.

La condition nécessaire et suffisante pour que/(^) = o puisse admettre des racines multiples est que /(oc) et f'{x) admettent un diviseur commun. Si donc on exécute sur ces deux fonctions les opérations du plus grand commun diviseur, on obtient la condition cherchée, en égalant à zéro la constante qui forme le dernier reste ; elle a la forme d'une relation entre les coefficients

F est une fonction rationnelle des coefficients, qui s'appelle le discriminant de la fonctiony(^); nous traiterons dans le Chapitre suivant, et d'une façon plus détaillée, de la loi de formation et des propriétés de cette fonction ; ce que nous pouvons dire, dès maintenant, c'est que F ne peut être identiquement nul, puisqu'il existe des équations sans racines multiples. Considérons maintenant la fonction

F(ai -+-ei, «î-hsi, ...,a/i -H s»),

dans laquelle a^, a^, ,,.ja,i sont des nombres donnés, et Si, e.j, ..., 6/1 des nombres indéterminés; cette fonction ne sera pas non plus identiquement nulle; de plus, on pourra disposer des e de façon que sa valeur soit différente de zéro, même lorsque le module des quantités e reste inférieur à une limite donnée.

On voit par là comment une racine multiple d'ordre a donne naissance, par la variation continue des coefficients, à a racines simples; il est donc naturel, à ce nouveau point de vue, de considérer celte racine multiple comme résultant de la coïncidence de a racines simples.