FONCTIONS SYMÉTRIQUES

§ 4^. — Notion des fonctions symétriques. Fonctions symétriques

fondamentales.

Nous considérerons, dans ce GhapUre, des fonctions entières de degré quelconque, par rapport à un nombre quelconque n de variables,

Une telle fonction est dite symétrique, si elle reste invariable, quand on effectue sur les variables une permutation quelconque; il nous faut maintenant examiner plus en détail la loi de formation et les propriétés de ces fonctions symétriques.

Pour qu'une fonction <ï>(a,, aa, .-., a„) soit symétrique, il faut et il suffit qu'elle reste invariable quand on y permute deux arguments quelconques; car (§ 21) toutes les permutations peuvent être formées à l'aide d'une suite de transpositions.

En général, la fonction ^ ne sera pas homogène ; elle contiendra des termes de degrés différents; mais si on groupe ensemble les termes du même degré, chaque fonction O pourra être représentée par une somme de groupes homogènes. Si donc ^ est une fonction symétrique, chaque groupe homogène doit être lui-même symétrique, car une permutation des variables ne change pas le degré des termes. Nous pourrons donc nous restreindre au cas des fonctions symétriques homogènes, qui servent à former toutes les autres.