CHAPITRE IV. — FONCTIONS SYHÉTRIQUES. l

Il estmaîntenant facile d'indiquer la forme générale d'une fonclion symétrique. Prenons un lerme

d'une telle fonction; permutons (comme pour la formation des déterminants) les indices inférieurs de toutes les manières possibles, et faisons la somme de tous les termes ainsi obtenus. Cette fonction s'appellera un élément de la fonction symétrique. Prenons plusieurs éléments, multiplions-les par des facteurs indépendants des a, et ajoutons : nous obtiendrons ainsi la fonction symétrique la plus générale. Le nombre des termes d'un élément est n(/i), si les exposants k\^ k^^ • » ^^ k„ sont différents; si le même exposant se reproduit plusieurs fois, il faudra laisser de côté les permutations qui ne donnent pas de termes distincts. Par exemple, dans le cas de trois variables et de trois exposants distincts Ati, Ats, A's on trouve comme élément

a*« a** «*• -4- a\* «*« a*» H- aj* «i» a\' -h a*' oi^'aj' -f- «{« aî*a*" -f- a*» «J" a*';

si, au contraire, k3 = k^^ on trouve

a\' aj« «*« -+- «î» «î» aj* ■+- a*' a^' a,».

L'exemple le plus simple d'une fonction symétrique est la somme des variables a, -f-a2 4-. • .-4- a,,; ou encore leur produit

Oli OC2 • • • ^n*

Ce sont là les deux termes extrêmes d'une suite de fonctions symétriques, qui s'appellent les fonctions symétriques fondamentales et qu'on obtient de la manière suivante.

Le produit

(i) /(a?) = (^ — ai)(3r — ttj) ... (37 — a„)

est une fonction symétrique des quantités a^, aj, . . ., a,,, quelle que soit d'ailleurs la valeur de ^, supposée indépendante des quantités a/. En effectuant la multiplication et ordonnant par rapporta x, les coefficients des différents termes seront des fonctions symétriques des a, car la permutation des a ne change pas la fonction f{x) (§1). Posons

(2) f{x) =x'*-{-aix"-i -^aJa'«-^-l-... -^a„;

l64 LITRB I. — LES PRLXGIPES.

ai, a2> • . -^ an sont les coeffîcienls de réquation algébrique admettant pour racines oL|, a2, • . ., a„. Ce sont les fonctions symétriques fondamentales. Nous les avons déjà formées au § 7 ; en nous j reportant, on voit que a^ est la somme des racines changée de signe, ^2 est la somme de leurs produits deux à deux, a^ est la somme de leurs produits trois à trois changée de signe, etc. ; enfin an est le produit de toutes les racines, avec le signe + ou le signe — , selon que n est pair ou impair. Nous poserons, pour

abréger,

/ ai = — S ai,

aj= Sai3t4, (3) ( aj = — 2aia,aa,

an= (— i)«aia,...X;,.

Notre but est la démonstration de ce théorème important :

Toutes les fonctions sjmétriqlies des quantités ai , a^, . . . , a^ s'expriment rationnellement à l'aide des fonctions symétriques fondamentales .

§ 46. — Sommes des puissances semblables.

Examinons d'abord une autre espèce particulière de fonctions symétriques, les sommes de puissances semblables. Soit k un exposant quelconque, la somme

(i) ^* = aî + Œf -f-...+ a*

est évidemment une fonction symétrique ; Sf^ est la somme des puissances d'ordre k. Nous allons établir les formules qui permettent d'exprimer ces sommes à Paide des fonctions symétriques fondamentales.

«p(:r) étant une fonction quelconque de a?, nous désignerons par S['f (a)] la somme des résultats obtenus en remplaçant, dans ? ('^)) ^^ variable x successivement par chacune des variables ai, a2, • • • , oi/i ; donc

Sf?(a)] = ?(ai) + o(%t)-h.. .4- ?(«„).